§ 2. Движение динамически и геометрически симметричного тела

1. Функции Рауса и Гамильтона.

Рассмотрим тяжелое динамически и геометрически симметричное тело на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости. Под динамически и геометрически симметричным телом подразумевается тело, ограниченное выпуклой поверхностью вращенрш, причем ось симметрии поверхности тела совпадает с осью его дппампческой симметрии, на которой расположен центр тяжести тела.

Получим некоторые нужные в дальнейшем геометрические соотношения. Ось связанной системы координат направлена по оси симметрии тела. На рис. 7 М - точка касания тела и плоскости. — расстояние от цептра тяжести до плоскости. Уравнение (1.1) поверхности тела запишем в виде

Равенства (1.4) запишутся в виде

Первые два равенства из (2.2) дают тождество . Ортогональные оси ввиду днпампческой симметрии тела можно выбирать с точностью до их одновременного поворота на произвольный угол в экваториальной плоскости центрального Эллипсоида инерцип. Выберем их так, чтобы при координата точки касания М равнялась На рис. 8 показано меридианное сечение поверхности тела, отвечающее значению угла

, равному На этом рисунке отрезок перпендикулярен: оси и равен

Из (2.1) и тождества следует, что

Отсюда и из второго и третьего из соотношений (2.2) получаем равенство

которое с учетом (2.1) показывает, что величины суть функции угла Исполызуя (2.3), получаем далее, что

Таким образом, координаты точки М касания тела и плоскости: можно представить в виде

Если обозначает расстояние от точки М до К — точки пересечения оси симметрии тела с вертикалью, проходящей через то (см. рис. 8) .

Рис. 7

Рис. 8

Из (1.21) и (2.5) следует, что расстояние от центра тяжести тела до горизонтальной плоскости — функция угла где

Уравнения в параметрической форме задают меридианное сечение поверхности тела, изображенное на рис. 8. Так как вектор лежит на касательной к этому сечению, то он коллинеарен вектору, имеющему в системе координат компоненты и где штрих означает производную по ; вектор коллинеарен вектору с компонентами и Ввиду ортогональности векторов и отсюда следует тождество

Дифференцируя обе части равенства (2.6) по и используя тождество (2.7), получаем

Из (2.6) и (2.8) получаем параметрические уравнения меридианного сечения в такой форме:

Найдем радиус кривизны меридианного сечения в точке М. Он может быть вычислен по формуле [157]

Дифференцируя (2.9), получаем

и

Из (2.10) — (2.12) получаем

и, кроме того,

Необходимое и достаточное условие выпуклости тела запишется в виде Отметим еще, что из формулы (2.8) следует равенство (см. рис. 8).

Функция Лагранжа (1.28) в случае симметричного тела примет вид

Координаты циклические. Им отвечают первые интегралы

Величипы суть проекции количества движения тела на оси неподвижной системы координат, — проекции вектора кинетического момента тела относительно центра тяжестп соответственно на ось симметрии и вертикаль.

Из (2.15) и (2.16) получаем

и

Исключив циклические координаты, введем функцию Рауса

Приведенная система имеет одну степень свободы, и ее движение описывается дифференциальным уравнением

Получим еще уравнения движения симметричного твердого тела на абсолютно гладкой плоскости в гамильтоновой форме. В дополнение к обобщенным импульсам (2.16) введем импульс отвечающий координате Тогда

Функция Гамильтона имеет вид

Уравнения движения приведенной системы с одной степенью свободы в гамильтоновой форме будут такими:

Таким образом, паклон оси тела к вертикали меняется со временем так же, как в консервативной системе с кинетической энергией потенциальной энергией П, определяемыми равенствами

Уравнения движения допускают первый интеграл (интеграл энергии)