4. Движение симметричного тела в общем случае.

Рассмотрим движение симметричного тела на абсолютно гладкой плоскости более подробно. Не ограничивая общности, будем считать, что постоянные в (2.16) равны нулю, т. е. проекция центра тяжести на опорную плоскость неподвижна, и, следовательно, центр тяжести тела во все время движения остается на фиксированной вертикали. Изменение угла со временем находится при помощи интеграла (2.25). Обозначая через начальное значение угла получаем

Когда из (2.40) будет найдена функция то координата центра тяжести определится по формуле а изменение углов со временем находится из (2.18) квадратурой. Если — начальные значения углов то

Рассмотрим сначала такие движения тела, при которых его ось симметрии не проходит через вертикальное положение, т. е. Угол во все время движения не может стать равным или Для этого, очевидно, достаточно потребовать, чтобы

Заметим, что всегда а при величина при или становится отрицательной. Отсюда следует, что в реальном движении угол заключен между двумя вещественными корнями уравнения лежащими между 0 и . Если два различных простых корня этого уравнения и в промежутке между этими корнями то угол колеблется между в соответствии с (2.40). Период этих колебаний вычисляется по формуле

На фазовой плоскости приведенной системы этим колебаниям соответствует замкнутая кривая. Если во все время движения то тело совершает какое-то из стационарных движений, исследованных выше. Стационарным движениям фазовой плоскости отвечают изолированные (особые) точки, лежащие на оси

На рис. 10 для случая в качестве примеров представлено поведение траекторий системы, когда функция , имеет один локальный минимум (рис. 10, а) и когда имеет два локальных минимума и один локальный максимум (рис. 10,б).

Рис. 10

Рис. 10, а соответствует случаю, когда существует одно стационарное движение, являющееся устойчивым, случаю, когда осуществляются три стационарных движения, из которых два устойчивы, а одно неустойчиво.

Пусть теперь ось симметрии тела во время движения может пройти через вертикальное положение. Если возможно прохождение положения то необходимо должно выполняться равенство Если же ось симметрии может пройти через положение, при котором (т. е. возможен переворот тела), то Если то при движении тела его ось

симметрии может проходить оба особых положения: При из (2.41) следует, что т. е. тело движется так, что его ось симметрии все время находится в фиксированной вертикальной плоскости. Зависимость угла нутации от времени получается из (2.40), где следует положить

Если исключить положения равновесия приведенной системы, отвечающие стационарным движениям тела, а также движения, соответствующие сепаратрисам на фазовой плоскости приведенной системы (см., например, 10,6) то -периодическая функция времени. Из (2.41) тогда следует, что функции представимы в виде

где постоянные и зависят от констант а функции — периодические с периодом равным периоду функции

Рассмотрим характер следов точки касания М на плоскости и поверхности тела для движений, не являющихся стационарными в случае Если угол колеблется между с периодом то за время получают приращения

Рис. 11

Рис. 12

След точки касания на иоверхпостн тела заключен между двумя параллелями, а на опорной плоскости — между двумя концентрическими окружностями, что иллюстрируется рис. 11 и 12.

На рис. 11, а представлен случай, когда не изменяет своего знака, на рис. 11, б обращается в нуль при рис. 11, в и г соответствуют таким движениям тела, когда за период

одного его колебапия по углу 0 величина меняет свой знак соответственно один и два раза; рис. 11,д соответствует сепаратрисе в плоскости .

На рис. 12, а-в величина за время не изменяет знак, меняет знак один раз и обращается в иуль при рис. соответствует сепаратрисе.

Интеграл энергии (2.25) позволяет выделить в пространстве множество таких значений постоянных которые отвечают реальным движениям тела. Так как 0, то это множество, очевидно, представляет собой совокупность величии определяемых неравенством

Уравнение

задает поверхность, ограничивающую