6. О перманентных вращениях несимметричного тела и их устойчивости.

Задача о существовании и устойчивости перманентных вращений произвольного тяжелого твердого тела с выпуклой поверхностью на неподвижной горизонтальной плоскости с вязким трением изучена в работах [65, 70, 77, 162, 269, 270]. Полное изложение зтих исследований было бы весьма громоздким, поэтому, следуя работам [65, 70, 77], приведем только основные результаты.

Для описания движения в [65, 70, 77] приняты дифференциальные уравнения в квазикоординатах, отвечающих (2.55). Уравнения движения имеют форму уравнений (2.56), в которых функции вычисляются теперь, исходя не из соотношений (2.48)-(2.54), как это было в случае тела вращения, а из

равенств (1.31) гл. 2 и (1.66), (1.67) гл. 3, справедливых для произвольного тела.

Анализ уравнений движения показал [70]. что частные решения вида (2.57) существуют только в двух случаях: 1) в случае равновесия тела, когда центр тяжести находится на вертикали, проходящей через точку касания тела с опорной плоскостью; 2) в случае перманентных вращений тела с произвольной угловой скоростью вокруг неподвижной оси инерции тела, занимающей вертикальное положение; последний случай возможен только тогда, когда какая-либо из главных центральных осей инерции тела хотя бы в одном из своих направлений ортогональна поверхности тела; перманентные вращения совершаются вокруг этой оси.

В [70] показано, что положение равновесия устойчиво, если центр тяжести тела находится ниже обоих центров кривизны поверхности тела в точке его касания с опорной плоскостью в невозмущенном движении, и неустойчиво, если центр тяжести лежит выше наинизшего центра кривизны.

В [65, 70, 77, 162] получены необходимые и достаточные условия устойчивости упомянутых перманентных вращений тела вокруг вертикальной главной центральной оси инерции. Эти условия задаются пятью неравенствами вида

где к — коэффициент трения, и А, В, С — масса и главные центральные моменты инерции тела, — угловая скорость вращения тела в невозмущенном движении, — радиусы кривизны поверхности тела в точке его касания с опорной плоскостью, — высота центра тяжести над плоскостью в невозмущенном движении, а — угол между одной из главных центральных осей инерции, расположенной в горизонтальной плоскости в невозмущенном движении, и одной из линий кривизны поверхности тела в точке касания. Функции в (2.70) являются многочленами относительно величины со, содержащими как четные, так и нечетные ее степени.

Условия (2.70) весьма громоздки, и для их анализа целесообразно привлекать численные расчеты, что сделано в статье [270] для некоторых частных значении параметров, от которых зависят функции (2.70). В работах [65, 70, 77, 162] проведено аналитическое исследование условии устойчивости в предельных случаях больших и малых коэффициентов трения. Показано, что при условия устойчивости (2.70) эквивалентны соответствующим условиям (6.6) и (6.7) гл. 3 устойчивости перманентных вращений тяжелого твердого тела вокруг вертикальной главной центральной инерции на абсолютно шероховатой плоскости, и устойчивость вращения в общем случае зависит от направления вращения. Если же то условия устойчивости (2.70) близки, но не эквивалентны достаточным условиям устойчивости перманентного вращения тела на абсолютно

гладкой плоскости (неравенства (4.30) гл. 2), и устойчивость перманентных вращений, вообще говоря, не зависит от направления вращения; но, одпако, и при малых к в пространстве параметров можно указать [65, 70] область, для которой устойчивость вращения тела существенно зависит от направления вращения, причем характер зтой зависимости аналогичен характеру такой зависимости в случае абсолютно шероховатой плоскости (см. п. 2 § 6 гл. 3).