4. Стационарные движения диска на льду и их устойчивость.

Уравнения движения диска на льду допускают частное решение

где постоянные связаны соотношением

а в остальном, вообще, произвольны. Решение (4.46) соответствует стационарным движеппям диска, при которых угол нутации т. е. угол наклона плоскости острого края диска к плоскости льда, постоянен. При этом движении диска угловые скорости его собственного вращения и прецессии постоянны, определяются равенствами (4.10); вектор скорости центра тяжестп диска горизонтален и имеет постоянную длину если при этом , то движение диска происходит со скольжением, в противном случае — без скольжения.

Уравпения (4.38), определяющие траекторию точки касания на льду, в случае стационарного движения диска становятся такими:

где Отсюда видно, что если на стационарном движении величина то отлична от нуля, то следом точки касания на льду будет окружность радиуса

Траекторией цептра тяжести будет также окружность; эта окружность лежит в плоскости, параллельной плоскости льда на расстоянии от последней, а ее центр расположен в точке вертикали, проходящей через центр окружности — следа точки касания. Радиус окружности, описываемой центром тяжести, равен если то окружность вырождается в точку, т. е. центр тяжести диска на стационарном движении (4.46) будет в этом случае неподвижен.

Если же на стационарном движении (4.46) величина то равна нулю (что, согласно (4.47), возможно, лишь когда то при траекторией точки касания на льду будет прямая; при эта прямая вырождается в точку. Плоскость диска при этом вертикальна. Если в рассматриваемом случае то диск совершает ноступательпое движение вдоль указанной прямой или (при покоится; если же то диск при движении вдоль прямой вращается вокруг своей оси симметрии,

занимающей горизонтальное положение, с постоянной угловой скоростью при ось симметрии диска неподвижна и диск «буксует» на месте, вращаясь вокруг оси симметрии с угловой скоростью

В общем случае соотношение (4.47) определяет трехпараметрическое семейство стационарных движений диска. В частных случаях это семейство может быть описано более просто при помощи меньшего числа параметров. Если, например, то равенство (4.47) определяет два семейства двухпараметрических стационарных движений диска, в которых плоскость диска вертикальна. Для одного из них

а для другого

Механический смысл движений (4.50) (а также движений (4.49) при описан выше. Остановимся на движениях (4.49) при . В этих движениях плоскость диска остается вертикальной, а центр тяжести диска и точка касания движутся по окружностям одинаковых радиусов, равных сам диск движется так, как если бы он был основанием прямого кругового конуса, имеющего неподвижную, расположенную на высоте а над плоскостью льда вершину и движущегося, соприкасаясь со льдом одной из точек окружности своего основания; движение конуса происходит со скольжением пли без скольжения в зависимости от того, выполняется неравенство пли нет. Отметим, что второе из равенств в (4.49) есть условие осуществимости такого движения (регулярной прецессии) упомянутого конуса, если считать, что вся масса конуса сосредоточена в его основании. Если в движении то она отвечает вращению диска вокруг его неподвижного вертикального диаметра с произвольной угловой скоростью

Исследуем устойчивость стационарных движений диска (4.46) на льду. Положим

Линеаризованные относительно возмущений

5) уравнения движения будут такими:

где приняты обозначения

Характеристическое уравнение системы (4.31) имеет вид

Это уравнение не имеет корней с положительной вещественной частью, если выполняется следующее неравенство:

которое в развернутой форме может быть представлено в виде

Неравенство (4.32) необходимо для устойчивости: при его невыполнении стационарное движение диска неустойчиво. Для получения достаточных условий воспользуемся теоремой Ляпунова об устойчивости движения [97].

Интегралы (4.42) — (4.45) в возмущенном движении могут быть записаны в вике

В выражениях для многоточием обозначены члены выше второго порядка относительно возмущений.

Возьмем функцию Ляпунова в виде суммы квадратов интегралов уравнении возмущенного движения:

Функция V будет знакоопределенной в том и только в том случае, когда знакоопределенной будет функция при значениях возмущении удовлетворяющих уравнениям Из этих уравнений получаем

где многоточием обозначены члепы третьего и Солее высоких порядков относительно

Величина при условиях (4.53) — (4.55) будет функцией переменных причем ее часть, линейная относительно обратится в нуль в силу равенства (4.47). Имеем

Здесь опять многоточие обозначает совокупность членов выше второго порядка относительно а выражение для коэффициента а, как показывают вычисления, совпадает с левой частью неравенства (4.52).

Таким образом, условие (4.52) является необходимым и (с точностью до знака равенства) достаточным условием устойчивости стационарного движения диска (4.46).

Если т. е. в невозмущенном движении (4.46) скольжение диска на льду отсутствует, то условия (4.52) существования и устойчивости стационарных движений диска на гладком льду переходят в соответствующие условия (4.9) и (4.13) существования и устойчивости стационарных движений диска на абсолютно шероховатой плоскости.

Рассмотрим условие устойчивости (4.52) в частных случаях стационарных движении диска, когда его плоскость вертикальна. При неравенство (4.52) принимает вид

Отсюда следует, что движение (4.49) устойчиво (независимо от значений величин , если угловая скорость прецессии диска достаточно велика:

Отметим, что это условие совпадает с условием (4.21) устойчивости стационарного вращения диска вокруг его неподвижного вертикального диаметра в случае абсолютно шероховатой плоскости.

При из (4.37) получаем, что движение (4.50) устойчиво, если угловая скорость собственного вращения диска вокруг его горизонтальной оси симметрии удовлетворяет неравенству

Отсюда следует, что «буксующий» на месте диск устойчив, если выполняется условие

Это условие совпадает с условием устойчивости «буксующего» диска на абсолютно гладкой плоскости (см. § 6 гл. 2). Отметим, однако, что на гладкой плоскости для устойчивости не требовалось равенства нулю величины там «буксование» могло сопровождаться поступательным движением дпска вдоль прямой с произвольной скоростью. В случае же движения диска по гладкому льду условия устойчивости при не будут совпадать с условием (4.59).

При стационарное движение диска (4.50) будет устойчивым, если (при выполняется одно из неравенств:

При знаки в неравенствах (4.60) надо изменить на противоположные.

5. Качественная картина движения диска по льду в общем случае. Следуя работе [81], рассмотрим некоторые свойства движений диска, отличных от изученных в стационарных движений.

Используя интегралы (4.43) — (4.45), интеграл энергии (4.42) можно записать в виде

Отсюда угол находится квадратурой. Будем считать, что Тогда, согласно (4.45), правая часть равенства (4.61) стремится к когда стремится к или Следовательно, в этом случае и - периодическая функция с некоторым периодом Т. Величины будут также периодическими функциями времени с тем же периодом Т.

Из второго и третьего кинематических условий (4.3) вытекает, что периодические функции времени с периодом Т и, следовательно,

где — постоянные величины, зависящие от пачальных условий, а — периодические функции времени с периодом Г.

Осталось рассмотреть характер движения точки касания диска и льда, определяемого уравнениями (4.38). Обозначим через величину являющуюся Г-перподической функцией времени. Если ввести комплексную величину и учесть первые равенств (4.62), то два уравнения (4.38) можно записать в виде следующего одного уравнения:

Разложим Т-периодическую функцию в сходящийся ряд Фурье

Тогда из (4.63) получим

где с — произвольная комплексная постоянная, а

Если при целых то -аналитическая периодическая функция с периодом Т. В неподвижной плоскости введем подвижную систему координат, вращающуюся с угловой скоростью вокруг точки . В этой системе координат точка будет двигаться периодически по замкнутой аналитической кривой . В неподвижной плоскости точка касания будет совершать сложное движение: она движется периодически по кривой которая вращается как твердое тело с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной точки