Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
4. Стационарные движения диска на льду и их устойчивость.Уравнения движения диска на льду допускают частное решение
где постоянные
а в остальном, вообще, произвольны. Решение (4.46) соответствует стационарным движеппям диска, при которых угол нутации Уравпения (4.38), определяющие траекторию точки касания на льду, в случае стационарного движения диска становятся такими:
где
Траекторией цептра тяжести будет также окружность; эта окружность лежит в плоскости, параллельной плоскости льда на расстоянии Если же на стационарном движении (4.46) величина то равна нулю (что, согласно (4.47), возможно, лишь когда занимающей горизонтальное положение, с постоянной угловой скоростью В общем случае соотношение (4.47) определяет трехпараметрическое семейство стационарных движений диска. В частных случаях это семейство может быть описано более просто при помощи меньшего числа параметров. Если, например,
а для другого
Механический смысл движений (4.50) (а также Исследуем устойчивость стационарных движений диска (4.46) на льду. Положим
Линеаризованные относительно возмущений 5) уравнения движения будут такими:
где приняты обозначения
Характеристическое уравнение системы (4.31) имеет вид
Это уравнение не имеет корней с положительной вещественной частью, если выполняется следующее неравенство:
которое в развернутой форме может быть представлено в виде
Неравенство (4.32) необходимо для устойчивости: при его невыполнении стационарное движение диска неустойчиво. Для получения достаточных условий воспользуемся теоремой Ляпунова об устойчивости движения [97]. Интегралы (4.42) — (4.45) в возмущенном движении могут быть записаны в вике
В выражениях для Возьмем функцию Ляпунова в виде суммы квадратов интегралов уравнении возмущенного движения:
Функция V будет знакоопределенной в том и только в том случае, когда знакоопределенной будет функция
где многоточием обозначены члепы третьего и Солее высоких порядков относительно Величина
Здесь опять многоточие обозначает совокупность членов выше второго порядка относительно Таким образом, условие (4.52) является необходимым и (с точностью до знака равенства) достаточным условием устойчивости стационарного движения диска (4.46). Если Рассмотрим условие устойчивости (4.52) в частных случаях стационарных движении диска, когда его плоскость вертикальна. При
Отсюда следует, что движение (4.49) устойчиво (независимо от значений величин
Отметим, что это условие совпадает с условием (4.21) устойчивости стационарного вращения диска вокруг его неподвижного вертикального диаметра в случае абсолютно шероховатой плоскости. При
Отсюда
Это условие совпадает с условием устойчивости «буксующего» диска на абсолютно гладкой плоскости (см. § 6 гл. 2). Отметим, однако, что на гладкой плоскости для устойчивости не требовалось равенства нулю величины При
При 5. Качественная картина движения диска по льду в общем случае. Следуя работе [81], рассмотрим некоторые свойства движений диска, отличных от изученных в Используя интегралы (4.43) — (4.45), интеграл энергии (4.42) можно записать в виде
Отсюда угол Из второго и третьего кинематических условий (4.3) вытекает, что
где Осталось рассмотреть характер движения точки касания диска и льда, определяемого уравнениями (4.38). Обозначим через
Разложим Т-периодическую функцию
Тогда из (4.63) получим
где с — произвольная комплексная постоянная, а
Если
|
1 |
Оглавление
|