2. Уравнения движения эллипсоида в форме, удобной для применения метода усреднения.

Пусть движущееся тело представляет собой однородный эллипсоид, поверхность которого в системе задается уравнением

При получаем хорошо изученную задачу о движении с трением однородного шара по горизонтальной плоскости (см. § 1).

Пусть эллипсоид мало отличается от шара радиуса а коэффициент трения мал. Примем величину

за малый параметр в. При приходим к задаче о движении однородного шара по абсолютно гладкой горизонтальной плоскости; центр шара движется равномерно и прямолинейно, причем шар равномерно вращается вокруг неизменного в неподвижной системе координат направления. Принимая это движение за порождающее, движение эллипсоида при исследуем асимптотическими методами. Для этого преобразуем уравнения к форме, удобной для применения метода усреднения.

Из (5.11), (5.3) и (5.6) следует, что — величина первого порядка малости относительно в, поэтому, согласно третьему уравнению из (5.7), нормальная реакция плоскости с погрешностью порядка в равна весу эллипсоида. Если пренебречь членами порядка то первые два уравнения из (5.7) запишутся в виде

Делая, как и в § 8 гл. 3, замену переменных

и учитывая, что для однородного эллипсоида

получаем из (5.11), (5.3), (5.9), что для записи уравнений (5.8) с точностью до членов порядка в включительно достаточно положить в их правых частях

Уравнение поверхности эллипсоида (5.11) в переменных будет уравнением сферы

Из (5.10) (при ) получаем при помощи (5.3) и (5.13), что уравнения для переменных в первом приближении по будут иметь вид уравнений (8.10) гл. 3:

Эти уравнения зависимы в силу (5.16).

Из соотношений имеем

Подставив сюда производные получаемые путем дифференцирования кинематического соотношения (5.4), использовав уравнения (5.10), (5.12), (5.13), (5.17) и тождества, которым всегда удовлетворяют направляющие косинусы получим такие дифференциальные уравнения для в первом приближении по в:

Аналогично § 8 гл. 3 вместо перемепных введем переменные по формулам

Переменные связаны соотношением

При имеем а величины постоянны, причем — расстояние от центра эллипсоида (шара) до прямой, проходящей через точку касания параллельно вектору , величина — расстояние от центра эллппсоида (шара) до плоскости, перпендикулярной и проходящей через точку касания.

В уравнениях (5.10) также сделаем замену переменных по формуле (5.19), заменив только в ней на соответственно, на Величины суть косинусы углов между вектором и осями неподвижной системы коордппат. Имеют место тождества

В первом приближении по переменные удовлетворяют таким дифференциальным уравнениям:

Входящие сюда величины должны быть получены из уравнений (5.8) с правыми частями (5.15). Пренебрегая членами порядка в и выше, имеем также такие уравнения:

Вместо введем переменные по формулам

Величина — это косинус угла между векторами , а — косинус угла между и вектором, перпендикулярным и и лежащим в горизонтальной плоскости, причем кратчайший поворот от и к этому вектору происходит против часовой стрелки.

Для из (5.25) и (5.23) получаем такие дифференциальные уравнения:

В уравнениях (5.22), (5.23), — функции, определенные из (5.8); предполагаются выраженными через по формулам замены переменных (5.19); величина в (5.26) представляет собой правую чагть первого уравнения из (5.18).

Уравнения (5.8) (с правыми частями (5.15)), (5.12), (5.18), (5.22) -(5.24) и (5.26) представляют собой систему, записанную в форме, удобной для применения метода усреднения.

В полученной системе уравнений переменные — медленные, а переменные — быстрые.

3. Усредненные уравнения и их первые интегралы

Усредним правые части уравнений для медленных переменных по быстрым переменным. Учитывая при этом (5.20), (5.21), а также

соотношения справедливые для невозмущеииого движения, получаем следующую усредненную систему уравнений:

Усредненные уравнения для не выписаны, так как они не понадобятся в дальнейшем. Для величины из (3.28) следует такое вспомогательное уравнение:

В (5.29) - (5.31) введено обозначение

Решения усредненной системы аппроксимируют медленные переменные с погрешностью порядка на интервале времени порядка .

Усредненная система имеет следующие интегралы:

Второй из этих интегралов, в частности, означает, что проекция вектора мгновенной угловой скорости на вертикаль в первом приближении метода усреднения постоянна.

Нахождение общего решения усредненпой системы вряд ли возможно, поэтому в дальнейшем ограничимся рассмотрением частных ее решений и установлением некоторых общих свойств движения эллипсоида.