2. Регулярные прецессии динамически симметричного тела с острым краем в форме окружности.

Пусть . В этом случае выпуклая кривая, являющаяся острым краем тела, должна быть окружностью радиуса центр которой совпадает с цептром тяжести тела. Предположим, что тело обладает динамической симметрией Этим условиям удовлетворяет, в частности, однородная круговая пластина (круговой диск); для нее

В принятых предположениях обобщенная координата будет циклической, поэтому проекция кинетического момента тела относительно центра тяжести на ось будет постоянной во все время движения. Игнорируя циклические координаты придем к приведенной системе с одной степенью свободы с обобщенной координатой 0. Если ввести обозначения

где — безразмерные постоянные величины, и перейти к безразмерному временит выражения для кинетической и потенциальной энергий приведенной системы запишутся в виде (штрихом обозначено дифференцирование по )

Дифференциальные уравнения движения приведенной системы имеют интеграл и их интегрирование сводится к квадратуре. Когда зависимость найдепа, изменение со временем найдется из соотношений (2.18), (6.11):

В дальнейшем без ограничения общности будем считать, что проекция центра тяжести на опорную плоскость неподвижна, т. е. центр тяжести тела движется по задапиой вертикали. Проведем качественное исследование движения. Осповное внимание будем уделять существованию и устойчивости движений, для которых Эти движения соответствуют регулярным прецессиям тела. Угловые скорости прецессии и собственного вращения определяются по формулам (6.13), в которых Значения являются стационарными точками потенциальной энергии приведенной системы и удовлетворяют уравнению

В случае регулярной прецесспп центр тяжести неподвижен, а нормальная реакция опорной плоскости равна весу тела.

Рассмотрим сначала такие движения, когда тело может пройти через особые положения, соответствующие углам нутации или Эти движения физически осуществимы, например, для однородного кругового диска. Тело может пройти через положение если Пусть это условие выполнено. Раскрывая иеопределенпость в выражении для потенциальной энергии приведенной системы, получаем

Анализ показывает, что при

функцпя (6.15) на рассматриваемом промежутке не имеет ни одного экстремума, а при имеет два экстремума причем — точка максимума точка минимума. На рис. 19, а, б показан фазовый портрет приведенной системы для случаев, когда нет ни одного экстремума и когда их два соответственно. Значение соответствует неустойчивой но отношению к возмущениям регулярной прецессии тела, а значение — устойчивой.

Рис. 19

Рис. 20

Из рис. 19 видно, что (при ) тело не может перевернуться, т. е. на одном и том же движении тела угол не может пройти как через значение так и через значение Движение таково, что либо угол периодически изменяется в окрестности значения либо тело надает так, что угол

становится равным нулю (это возможно для диска; если же тело не является диском, то при стремлении к нулю оно коснется опорной плоскости более чем одной точкой, лежащей на его остром крае), либо, наконец, угол асимптотически стремится к значению Отметим, что не обязательно каждой фазовой траектории, представленной на рис. 19, отвечает реальное движение тела. Имеют смысл только те фазовые траектории (или их участки), которые соответствуют неотрицательной нормальной реакции опорной плоскости. Этому условию заведомо удовлетворяют, например, фазовые траектории, расположенные вблизи стационарных значений угла Требование неотрицательности нормальной реакции исключает возможность отрыва тела от опорной плоскости.

Особое положение тело может пройти, если Анализ этого случая аналогичен рассмотренному случаю, когда Фазовый портрет получится рис. 19, если на нем 0 заменить на

Чтобы тело могло пройти оба особых положепия, необходимо выполнение равенства а . В этом случае Фазовый портрет приведенной системы представлен на рис. 20. Существует стационарное значение угла путации При этом плоскость острого края тела занимает вертикальное положение, а само тело покоится. Это положение равновесия неустойчиво. Другие возможные движения таковы, что либо тело «падает», приходя в особое положение или (причем возможен «переворот» тела, когда 0 изменяется от 0 до или от к до 0), либо асимптотически стремится к неустойчивому положению равновесия, для которого

Пусть Для таких значений тело, например диск, не может «упасть» на опорную плоскость, так как при угол нутации не может стать равным 0 или Рассмотрим сначала частные случаи. Пусть Из (0.14) следует, что тогда при существует одно стационарное значение угла нутации а при -три: . Анализ характера экстремума потенциальной энергии приведенной системы показывает, что движение тела (регулярная прецессия), соответствующее устойчиво по отношению к возмущениям при неустойчиво при . Движения же, соответствующие устойчивы, если они существуют, т. е. при На рис. показаны фазовые портреты при соответственно. Если то он при любом движении тела изменяется между своими минимальным и максимальным значениями

Угол соответствует такому движению тела, когда плоскость его острого края расположена в фиксированной вертикальной плоскости, а само тело вращается с постоянной

угловой скоростью вокруг проходящей через его центр тяжести горизонтальной оси. Это движение устойчиво, если и неустойчиво, если это неравенство не выполняется. Для кругового однородного диска условие устойчивости запишется в виде неравенства .

Для регулярпых прецессий, совершающихся при угловые скорости вращения тела вокруг симметрии и вокруг вертикали будут соответственно такими:

Точка М касания тела и опорпой плоскости описывает на последней окружность радиуса - Центром этой окружности будет проекция центра тяжести тела на опорную плоскость.

Рис. 21

Если то вокруг оси симметрии тело вращается против часовой стрелки, а точка касания движется по окружности следу против часовой стрелки, если и по часовой стрелке, если При картина обратная.

Рассмотрим еще частный случай . Аналогично предыдущему случаю получим, что существует движение, для которого и которое устойчиво, если и неустойчиво, если Для тело движется так, что плоскость его острого края вращается вокруг вертикали с произвольной постоянной угловой скоростью а угловая скорость собственного вращения равна нулю. Это движение устойчиво, если и неустойчиво, если последнее неравенство не выполняется. Для круглого однородного диска условием устойчивости будет выполнение неравенства

Если то при помимо движений, для которых существуют еще два движения — регулярные прецессии, для которых Эти движения устойчивы. Для них

Рассмотрим теперь общий случаи, когда ограничиваясь только определением количества регулярных прецессий в зависимости от параметров . Уравнение (6.14), определяющее стационарные значения не изменяется при следующих заменах: 1) Численный анализ уравнения (6.14) с использованием этих свойств симметрии показал, что плоскость параметров разбивается осями координат, биссектрисами координатных углов и полученными численно четырьмя кривыми, соединяющими вершины единичного квадрата, лежащие на осях координат, на шестнадцать областей (рис. 22). Области расположены симметрично относительно начала координат, осей координат и биссектрис координатных углов.

Рис. 22

В каждой из восьми заштрихованных на рис. 22 областей уравнение (6.14) имеет три корня, один из которых соответствует максимуму приведенной потенциальной энергии, а два — минимуму. Фазовый портрет аналогичен рпс. 21, б. В каждой из незаштрихованпых на рис. 22 областей уравнение (6.14) имеет один корень, и для него приведенная потенциальная энергия имеет минимум. Фазовый портрет аналогичен рис. 21, а.

Для всех точек расположенных симметрично относительно начала координат или относительно биссектрис координатных углов, уравнение (6.14) имеет одни и те же корни. В точках же, симметричных относительно какой-либо из осей координат, сумма соответствующих корней равна : если в одной из точек уравнение (6.14) имеет корень то в симметричной ей точке оно имеет корень