6. Об уравнениях задачи о движении без скольжения тела вращения по поверхности вращения.

Пусть тело динамически симметрично и ограничено поверхностью вращения с осью симметрии

Неподвижная поверхность по которой движется тело, абсолютно шероховатая и также является поверхностью вращения. Движение происходит в однородном поле тяжести. В неподвижной системе координат ось которой направим вертикально вниз, поверхность задается равенствами

В (3.63), (3.64) и далее в этом пункте применяются обозначения из § 1.

Так как линии и линии на суть линии кривизны зтпх поверхностей, то за уравнения движения можно принять уравнения (1.38), (1.39) с учетом соотношений

Из равенств (3.2) — (3.6) следует, что при кинетическая энергия тела Т, вычисляемая по формуле (1.37), будет квадратичной формой относительно величин коэффициенты которой суть функции только гауссовой координаты и.

Разрешив уравнения связей (1.39) относительно производных по времени от гауссовых координат и получим

Подставим отсюда величины в равенства (1.35), (1.36). Получим, что будут линейными однородными функциями от коэффициенты которых зависят только от ; величина будет аналогичной функцией от Разрешив

получепные равенства относительно придем к соотношениям

где функции от

Найдем выражение для проекций момента силы тяжести оиносителыго точки касапия тела и опорной плоскости на линии и общую юормаль к поверхностям Для потенциальной эпергии тела имеем выражение

где — проекцию вектора проведенного из точки касания М тела опорной поверхности в центр тяжести тела, на ось неподвижной системы коордпнаг

Здесь — направляющие косинусы вертикали в системе координат (см. рис. 27, где надо положить ). Величины 4 вычисляются по формулам, аналогичным (3.3):

Через в (3.68) обозиачепы компоненты вектора в системе координат из рис. 27 следует, что они выражаются через компоненты того же вектора в системе координат Мдлдщч при помощи равенств

Величины вычисляются по формулам (1.12),

Из (3.68) — (3.71) получаем следующее выражение:

Таким образом, потенциальная энергия тела (3.67) будет функцией только от переменных от величин она не зависит.

За время сила тяжести совершает работу Или, если воспользоваться соотношениями (3.66),

где

Из изложенного следует, что в случае движения без скольжения тяжелого тела вращения по неподвижной поверхности вращения с вертикальной осью симметрии дифференциальные уравнения (1.38) могут быть приведены к замкнутой системе трех уравнений второго порядка, определяющих координаты как функции времени. Если эти уравнения проинтегрированы, то координаты найдутся из уравнении связей (3.65) при помощи квадратур.

В некоторых частных случаях движения, например когда точка касания М описывает на поверхности тела и на опорной поверхности параллели задача может быть проинтегрирована полностью [32, 300].