2. Шар Чаплыгина на горизонтальной плоскости.

Рассмотрим уравнения (1.40) движения без скольжения твердого тела по неподвижной плоскости, предполагая, что проекции главного момента активных внешних сил относительно точки касания М тела и плоскости зависят только от гауссовых координат точки М. Именно этот случай имеет место при движении тяжелого твердого тела по горизонтальной плоскости. Получим выражение для величин в зтом случае. Так как потенциальная энергия тела равна то для

элементарной работы силы тяжести за время имеем такое выражение:

Считая, что линии являются линиями кривизны поверхности тела, из (1.31), (1.32), (1.40), (1.52) получаем, что

Используя это равенство, получаем такое выражение для элементарной работы силы тяжести:

Отсюда следует, что

где берется верхний или нпжиый знак в зависимости от того, направлен ли вектор вверх или вниз.

Согласно (1.37) функция Т есть квадратичная форма от коэффициенты которой являются функциями только от Поэтому из первых шести уравнений системы (1.40) можно исключить величину и получить систему пяти дифференциальных уравнений первого порядка относительно Если эти уравнения проинтегрированы, то остальные величины найдутся из третьего, седьмого и восьмого уравнений системы (1.40) при помощи квадратур.

Если активные виешипе силы имеют потенциал, то упомянутые пять уравнении допускают интеграл энергии. Замечая еще, что из этих уравнений может быть исключено время, приходим к следующему выводу [33]: задача о движении без скольжения твердого тела по плоскости под действием сил, имеющих потенциал, зависящий лишь от координат точки касания, решается интегрированием трех совместных дифференциальных уравнений первого порядка и квадратурами.

В качестве примера рассмотрим движение тяжелого неоднородного шара по горизонтальной плоскости. Предполагаем, что центр тяжести шара лежит в его геометрическом центре. Главные центральные моменты инерции шара считаем различными. Задача о движении такого шара решена С. А. Чаплыгиным [204]. В дальнейшей шар с указанным распределением масс будем называть шаром Чаплыгина.

Покажем интегрируемость задачи о двпжеипп без скольжения шара Чаплыгнна по горизонтальной плоскости, следуя статье П. В. Воронца [33]. Пусть радиус шара. Тогда

и из (1.21), (1.24), (1.25) имеем

Получаемые из (1.40), (2.5) — (2.7) дифференциальные уравнения, определяющие величины как функции времени , будут такими:

причем функция Т в соответствии с (2.6), (2.7) имеет вид

Уравнения (2.8) допускают интегралы

Если из этих интегралов определить величины как функции от , то траектория точки касания М на поверхности шара может быть найдена путем интегрирования уравнения

являющегося следствием четвертого и пятого уравнении системы (2.8), а время затем введется квадратурой

Покажем, что наличия трех интегралов (2.10) достаточно для того, чтобы уравнение (2.11) могло быть проинтегрировано в квадратурах. Согласно сказанному выше это будет означать, что интегрирование системы (2.8) может быть сведено к квадратурам.

Для доказательства достаточно найти последний множитель Якоби [188] системы (2.8). Для удобства вычислений введем вместо новые переменные по формулам

Из (2.9) и (2.12) получаем

где введены обозначения

На основанпи (2.12) имеем

и в новых переменных уравнениях (2.8) становятся такими:

Разрешим эти уравнения относительно производных от неизвестных функций. Для этого положим

Если обозначить через К кинетическую энергию Т, выраженную через

то на основании свойств преобразования Лежандра [34] имеем равенства

так что уравнения (2.15) могут быть записаны в виде следующей системы уравнений, разрешенных относительно производных от неизвестных функций:

где

Последний множитель Якоби удовлетворяет уравнению

где суть правые части уравнений (2.17). Уравнение для множителя можно представить в виде

Подставив сюда выражения для правых частей уравнений (2.17), найдем, что

Но свойства преобразования Лежандра дают равенства

Отсюда и из (2.9), (2.12), (2.16) следует, что

и уравнение (2.18) для множителя и можно представить в виде

Использовав представление функции Г в виде (2.13), получим следующее явное выражение для функции К:

где введено обозначение

Уравнение (2.19) на основании (2.14) и (2.20) перепишется так:

Но из (2.14) и (2.21) получаем

Поэтому последнее уравнение можно записать в виде

или, используя уравнение (2.17), в виде

Отсюда получаем

где — произвольная постоянная, а дается формулой (2.21).

Таким образом, на основании теории последнего множителя Якоби рассматриваемая задача о движении без скольжения шара по плоскости должна сводиться к квадратурам. Фактическое получение квадратур представляет собой очень трудоемкую проблему. Она разрешена С. А. Чаплыгиным в его работе [204]. В этой же работе Чаплыгин дал геометрическую интерпретацию движения. Аналитическое представление решения Чаплыгина весьма сложно. В работе [134] для анализа движения в рассматриваемой задаче применяются асимптотические методы; в предположении, что шар близок к однородному, получено приближенное решепие задачи, допускающее наглядное аналитическое и геометрическое представления движения. Соответствующие результаты работы [134] изложены в п. 8 § 9 данной главы.