ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Второе издание с незначительными изменениями воспроизводит текст первого издания. Несколько расширена информация, касающаяся теоретической части книги — понятий, получивших широкое распространение в математической литературе (устойчивость по Ляпунову, коразмерность, нормальные формы). Существенно изменен раздел, посвященный предельным циклам квадратичного дифференциального уравнения. Обсуждается число и расположение предельных циклов. Выделены некоторые области существования квадратичных дифференциальных уравнений с двумя, тремя и четырьмя предельными циклами.
В Дополнении обсуждается роль и значение понятий, введенных для динамических систем на плоскости, при переходе к рассмотрению динамических систем более высокого порядка или динамических систем на поверхностях, к рассмотрению которых естественно сводятся уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Авторы выражают благодарность Д. В. Аносову за многочисленные полезные замечания, использованные при подготовке второго издания.
Н. Н. Баутин, Е. А. Леонтович
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящая книга имеет своей целью: во-первых, ознакомить читателя с основными фактами качественной теории динамических систем на плоскости, причем главным образом с теорией бифуркаций таких систем, во-вторых, указать роль теории бифуркаций при объяснении целого ряда нелинейных эффектов в реальных системах, и, в-третьих, продемонстрировать на ряде динамических систем из приложений роль теории бифуркаций при качественном исследовании конкретных систем.
Теория бифуркаций динамических систем на плоскости, созданная А. А. Андроновым (при сотрудничестве с его учениками) — естественная и прозрачная по своей идейной стороне — представляется имеющей большое математическое значение и большое значение для приложений. Между тем теория бифуркаций динамических систем мало известна как математикам, так и лицам, занимающимся прикладными вопросами, хотя качественная теория завоевывает все новые области естествознания.
Настоящая книга в своей теоретической части (гл. 1—13, 17, 18) носит справочный, информационный характер, все приведенные в ней предложения и факты даны без доказательств (авторы старались проиллюстрировать их рисунками). Все основные доказательства читатель может найти в «Теории колебаний» А. А. Андронова, А. А. Витта, С. Э. Хайкина [3], «Качественной теории динамических систем второго порядка» А. А. Андронова, Е. А. Леонтович, И. И. Гордона, А. Г. Майера [12], и в «Теории бифуркаций динамических систем на плоскости» А. А. Андронова, Е. А. Леонтович, И. И. Гордона, А. Г. Майера [13].
В то же время качественное исследование приведенных в книге конкретных динамических систем дано в основном в подробном изложении.
Необходимо сказать, что при переходе к динамическим системам в пространстве трех и большего числа измерений (и даже к динамическим системам на двумерных поверхностях, отличных от сферы) теория бифуркаций динамических систем чрезвычайно усложняется. Даже содержание понятия грубой системы делается значительно более сложным (см. [111]). Однако и в этом случае теория бифуркаций динамических систем, на плоскости все же остается некоторой основой, и для некоторых классов
многомерных динамических систем теория бифуркаций во многом аналогична с теорией бифуркаций на плоскости.
В заключение — о терминологии. В настоящее время в математической литературе становится также употребительной терминология, отличная от той классической, которая используется в настоящей книге. Так, например, вместо терминов «система дифференциальных уравнений» или «динамическая система» для многомерных динамических систем или систем на многообразиях часто используется термин «поток» (см., например, [111]). Однако, во-первых, в настоящей книге рассматриваются лишь системы на плоскости и, во-вторых, материал этой книги тесно связан с литературой прикладного направления (например, [3]), использующей классическую терминологию. Поэтому авторы не используют также термины «диффеоморфизм», «сечение» и др., ставшие распространенными в современной математической литературе.
Авторы
