§ 10. Понятие интегральной кривой и интеграла в случае аналитических правых частей Р(х,у) и Q(x,y) системы (А).

Термины «решение», «интегральная кривая» употреблялись выше в случае, когда правые части рассматриваемой системы дифференциальных уравнений (в частности, уравнений удовлетворяют условиям теоремы существования и единственности.

В классической литературе при рассмотрении системы дифференциальных уравнений, правые части и которых — аналитические функции, в термины «решение» и «интегральная кривая» вкладывается несколько иное содержание.

Именно, в этом случае решением уравнения (или уравнения называется аналитическая функция определенная на некотором интервале значений и удовлетворяющая уравнению во всех неособых точках, но могущая принимать при некотором значении а такое значение что являются

координатами особой точки. Далее, если функция, аналитическая во всех неособых точках уравнения (могущая, в частности, оставаться аналитической также и в особых точках) и такая, что но имеет место тождественное равенство

то соотношение

называется общим интегралом уравнения или системы (А). В достаточно малой окрестности каждой неособой точки аналитической системы (А) существует (локально) аналитический интеграл Давая с различные значения, мы будем получать уравнения «кусков» «локально» различных траекторий.

Пусть -аналитическая функция и равенство

удовлетворяется тождественно при значениях х, у, при которых

Тогда соотношение (6) называется частным интегралом уравнения или просто интегралом системы (А).

Если решение или

— интеграл уравнения то соответствующая кривая называется интегральной кривой уравнения

Нетрудно убедиться, рассматривая простые примеры, что, как указано, интегральная кривая в этом смысле может проходить через особые точки.

В случае, когда функция удовлетворяющая соотношению (5), является аналитической во всех точках области как особых, так и неособых, то говорят, что уравнение или система (А) имеет аналитический интеграл.