§ 2. Состояния равновесия, возможные в грубой динамической системе.

Теорема 1. Если система (А) является грубой в замкнутой области то в нее может существовать только конечное число состояний равновесия.

В рассматриваемом случае аналитических правых частей системы (А) бесчисленное множество состояний равновесия возможно лишь в случае, когда правые части имеют общий множитель. Но тогда можно рассмотреть сколь угодно близкую вместе со своими производными аналитическую систему, у которой правые части уже не имеют общих множителей, откуда и будет следовать справедливость теоремы 1.

При более общих предположениях относительно правых частей динамической системы (например, при предположении о наличии производных до некоторого конечного порядка системы (А) может существовать бесчисленное множество корней и в том случае, когда не имеют общего множителя. В этом случае всегда можно взять сколь угодно близкую к (А) систему (А) с аналитическими правыми частями, не имеющими общего множителя.

Таким образом, у грубой в системы все состояния равновесия изолированные.

Пусть - состояние равновесия системы (А). В дальнейшем мы будем рассматривать величины

Теорема 2. Если система (А) является грубой в замкнутой области то у нее не может существовать в состояния равновесия, для которого

Действительно, условие очевидно, означает, что изоклины в их общей точке не просто пересекаются, а имеют кратную общую точку. Тогда очевидно, всегда найдется измененная система (3.), у которой сколь угодно близко от точки О существует более одной общей точки, что противоречит грубости системы.

Из теоремы 2, очевидно, следует, что если система (А) является грубой в то в могут существовать только простые состояния равновесия.

Состояния равновесия, возможные в грубой системе, будем называть грубыми состояниями равновесия.

Теорема 3. Простые состояния равновесия, у которых и у которых (т. е. простые состояния равновесия типа «узел», «фокус» и «седло»), являются грубыми (см. [12, 13]).

Отметим, что доказательство этой интуитивно очевидной теоремы хотя элементарно по идее (строится топологическое отображение области, содержащей состояние равновесия системы (А) на область, содержащую близкое состояние равновесия системы но довольно кропотливо.

Как мы видели в § 5 гл. 3, возможно еще также простое состояние равновесия, у которого (т. е. у которого характеристические корни чисто мнимые). Это состояние равновесия рассматривается в следующем параграфе. Мы увидим, что оно является негрубым.