§ 3. Бифуркации некоторых типов сложных особых точек.

Пусть для рассматриваемой системы

точка является (изолированной) сложной особой точкой, т. е. особой точкой, для которой

В этом случае всегда можно так изменить правые части этой системы, чтобы «сложная точка О» распалась на несколько особых точек, т. е. чтобы у соответствующей измененной системы

в достаточно малой окрестности точки О было несколько особых точек. Поэтому естественно ввести понятие кратности особой точки.

Определение. Особая точка системы (А) называется -кратной, если: а) существуют такие что при всевозможных -добавках ранга соответствующей системы (А) в -окрестности О может быть не более чем особых точек; б) при любых всегда существуют такие -добавки ранга при которых у соответствующей системы (А) в -окрестности точки О существует грубых особых точек.

Очевидно, особая точка кратности может при надлежащем выборе добавок разделяться и на меньшее, чем число особых точек, и, в частности, могут быть такие сложные особые точки, которые при надлежащим образом выбранных, но сколь угодно малых добавках исчезают (например, седло-узел).

Теорема 1. Индекс сложной особой точки О кратности равен сумме индексов тех особых точек, на которые сложная особая точка О может разделяться при сколь угодно малых добавках ранга .

I. Разделение при малых добавках к правым частям системы (А) сложной особой точки О с одним нулевым характеристическим корнем (т. е. особой точки, для которой на грубые особые точки. Такая сложная особая точка была рассмотрена в гл. 4. В окрестности такой особой точки, как мы видели (см. § 2 гл. 4), система может быть приведена линейным неособым преобразованием к виду

где функции, разложения которых по степеням х, у начинаются с членов не ниже второй степени,

В гл. 4 были введены в рассмотрение следующие функции:

а) У — являющаяся решением уравнения

(не выписанные члены содержат х в степени выше ), где

Как мы видели (см. гл. 4), четность и нечетность и знак и определяли характер рассматриваемой особой точки.

Наряду с системой (А) будем рассматривать измененную систему

Теорема 2. Если то кратность особой точки О системы (А) есть

Теорема 3. Если кратность особой точки О системы (А) есть то число грубых состояний равновесия системы (А), на которые точка О может разделиться при сколь угодно малых добавках р(х, у) и ранга при нечетном может быть любым нечетным числом, меньшим

или равным то, при то четном — любым четным числом, меньшим или равным при этом.

1) если О имеет характер узла (т. е. то нечетно и то число грубых узлов среди особых точек системы (А) на единицу больше числа грубых седел;

2) если О имеет характер седла (т. е. то нечетно и то число грубых седел среди особых точек системы (А) на единицу больше числа грубых узлов,

3) если О имеет характер седло-узла (т. е. четно), то среди особых точек системы (А) число узлов равно числу седел.

Замечание 1. В силу того, что в рассматриваемой особой точке а ни при каких (достаточно малых) добавках среди грубых особых точек системы (А) не может быть фокусов и не может быть также предельных циклов, рождающихся состояния равновесия О (это элементарно устанавливается использованием критерия Дюлака).

Замечание 2. Из настоящей теоремы, очевидно, следует, что индекс состояния равновесия системы (А), имеющего характер узла, равен имеющего характер седла, равен — 1, и имеющего характер седло-узла, равен 0.

В случае системы (А) изоклины, имеющие наклон, отличный от нуля, не имеют особенности в точке

Нетрудно видеть, что в рассматриваемом простейшем случае сложной особой точки ее качественный характер полностью определяется числом и характером грубых состояний равновесия, на которые она разделяется.

II. Разделение при малых добавках к правым частям системы (А) сложной особой точки с двумя нулевыми корнями для которой на грубые особые точки. Как уже было указано в гл. 4, в этом случае система может быть приведена линейным неособым преобразованием к виду

как и в гл. 4, рассмотрим функции:

1) функцию являющуюся решением уравнения

2) функцию

Здесь

Наряду с системой будем рассматривать всевозможные измененные системы

достаточно близкие до ранга к системе

Имеют место предложения, полностью аналогичные теоремам 1 и 2.

Теорема 4. Если то кратность особой точки О системы есть

Теорема 5. Если кратность состояния равновесия О, то число к грубых состояний равновесия системы на которые О может разделиться при сколь угодно малых добавках ранга при нечетном может быть любым нечетным числом, меньшим или равным при четном — любым четным числом, меньшим или равным и при этом-.

1) если нечетно и особая точка О либо имеет характер узла или фокуса, либо является особой точкой с эллиптической областью, то среди особых точек системы число грубых узлов или фокусов на единицу больше числа грубых седел;

2) если нечетно и О имеет характер седла, то среди особых точек число грубых седел на единицу больше числа грубых узлов или фокусов,

3) если четно, т. е. особая точка О либо является вырожденной особой точкой, либо имеет характер седло-узла, то число грубых узлов или фокусов равно числу седел.

Замечание 1. В рассматриваемом случае всегда можно указать такие, сколь угодно малые до ранга добавки, при которых среди грубых особых точек системы были бы фокусы и такие добавки, при которых существовали бы предельные циклы (целиком лежащие в сколь угодно малой окрестности О).

Замечание 2. Индекс особой точки О системы имеющей характер узла, фокуса или являющейся особой точкой с эллиптической областью, равен индекс особой точки О, имеющей характер седла, равен —1 и индекс особой точки О, имеющей характер седло-узла или вырожденной, равен 0.