§ 3. Состояния равновесия, возможные в системе первой степени негрубости.

Сохраним обозначения:

Теорема 1. Если система (А) является системой первой степени негрубости в замкнутой области то она не может иметь в состояния равновесия, для которого и

Всегда можно считать, что и тогда систему (А) в окрестности состояния равновесия, для которого можно привести линейной заменой переменных к виду

- функции, разложение которых по степеням начинается с членов не ниже второй степени.

Теорема 2. Если система (А) является системой первой степени негрубости в области то в нее не может быть состояний равновесия, у которых

Состояние равновесия, для которого является седло-узлом.

Геометрически это состояние равновесия имеет вид, представленный на рис. 51, гл. 4.

Отметпм, что седло-узел есть двукратное состояние равновесия (см. § 3 гл. 10).

Рассмотрим теперь состояние равновесия О, для которого т. е. состояние равновесия, уже изучавшееся в § 5 гл. 3, которое может быть либо фокусом, либо центром. Как мы видели в § 5 гл. 3, в окрестности этого состояния равновесия на некоторой части полупрямой, примыкающей к точке О, можно

построить функцию последования

в случае, когда

Теорема 3. Если система (А) является системой первой степени негрубости в области то в области не может существовать состояние равновесия, для которого и