ГЛАВА 20. ОБ АППРОКСИМАЦИЯХ И ГРУБОСТИ ПРОСТРАНСТВА ПАРАМЕТРОВ [39, 41, 42]

Введение. В уравнениях движения динамических систем, моделирующих поведение технических устройств, обычно бывает возможно наряду с параметрами системы выделить не содержащие параметры нормированные характеристики (синусоидальные, полигональные, релейные и т. д.), описывающие поведение отдельных элементов этого устройства. Выбор таких характеристик всегда в какой-то мере произволен и диктуется, с одной стороны, соответствием поведения характеристики модели поведению реальной характеристики изучаемого устройства, а с другой стороны, ограничен требованием получения такой системы уравнений, исследование которой может быть проведено с необходимой полнотой.

Удачный выбор характеристики (удачная аппроксимация) весьма важен для создания модели, пригодной для исследования.

При качественном исследовании динамических систем можно использовать переход от исходной модели к упрощенной или кусочно-интегрируемой, аппроксимируя характеристики в уравнениях движения. При этом возникает важный вопрос о допустимых отклонениях аппроксимирующих функций от реальных характеристик при сохранении необходимой близости между исходной и аппроксимирующей системой. Понятие необходимой близости не однозначно и определяется целями исследования. Естественным требованием при создании удобной модели за счет изменения аппроксимации будет при этом требование сохранения при изменении характеристик качественной структуры разбиения пространства параметров и фазового пространства исследуемой системы. Таким образом, возникает задача выяснить, в какой мере возможно изменять характеристики системы, не изменяя существенно общую картину зависимости поведения траекторий от параметров, и выяснить, что может происходить с пространством параметров системы при изменении характеристик. В общей постановке задача сводится к вопросу о сохранении или потере бифуркаций при переходе к аппроксимирующей системе. Возникающие здесь трудности связаны с тем, что не все бифуркации могут быть прослежены регулярными методами, и, кроме

того, для сшитых аппроксимирующих систем (кусочно-аналитических) могут возникать новые типы бифуркации, для которых еще нет полной классификации. Поэтому представляет интерес сравнительное рассмотрение конкретных динамических систем при разных аппроксимациях.

Дадим сначала общее определение. Будем рассматривать уравнения вида

где и кусочно-непрерывные (в частном случае аналитические) характеристики системы и -параметры.

Определение. Пространство параметров системы (1) будем называть грубым по отношению к классу характеристик если для всех характеристик этого класса остается неизменной качественная структура разбиения пространства параметров на области одинаковой (или сходной в некотором смысле) (см. гл. 17 и 18) структуры разбиения фазового пространства на траектории.

Задача выделения классов характеристик, по отношению к которым пространство параметров системы (1) будет грубым, сводится к задаче изучения бифуркаций, возможных в системе при изменении характеристик. Если при замене одной характеристики другой не исчезают какие-либо возможные бифуркации и не появляются новые, то система будет грубой в указанном выше смысле по отношению к этим характеристикам. В общем случае эта задача очень трудна и не существует регулярных методов для ее решения. Бифуркации, возможные в системе, в неодинаковой степени доступны для исследования. Простейшие из них характеризуются значениями некоторых величин, отнесенных к точке фазового пространства (таковы бифуркации сложных состояний равновесия или бифуркации, связанные с оценкой числа предельных циклов, появляющихся из состояния равновесия типа фокус или от петли сепаратрисы), другие требуют сведений о глобальном поведении траекторий и не могут быть получены регулярными методами (сюда относятся весьма сложные вопросы о существовании сепаратрис, идущих из седла в седло, и рождении двойных предельных циклов из сгущения траекторий).

Однако в некоторых случаях такие глобальные оценки могут быть получены при использовании специфики исследуемых уравнений или при использовании специально подобранных систем сравнения, и тогда поставленная задача допускает полное решение. Чаще, однако, оказывается возможным выделение таких классов характеристик, при которых можно обеспечить неизменность разбиения пространства параметров на области не тождественной, но лишь сходной в некотором смысле структуры.

Например, можно условиться не различать области пространства параметров, которым соответствуют разбиения фазового

пространства, возможно, различающиеся лишь четным числом предельных циклов. Такая постановка задачи нередко бывает полезной, так как позволяет расширить класс характеристик, расширяет возможности разумного выбора аппроксимации и тем самым иногда возможности получения практически полного знания всех важнейших особенностей в работе устройства в зависимости от параметров. В то же время такой подход оставляет в стороне часто неразрешимую задачу прослеживания бифуркаций, связанных с двойным циклом. Мы проведем сравнительное рассмотрение качественной структуры при разных аппроксимациях на ряде задач. В качестве первой из этих задач возьмем классическую задачу динамики полета, которая в случае аналитической характеристики была рассмотрена в гл. 16. Именно, рассматривалась система

Выбор этой задачи обусловился тем, что в исходной системе возможен широкий набор бифуркаций (осуществляются все типы бифуркаций первой степени негрубости) и удалось строго установить структуру разбиения пространства параметров как для исходной системы (что до сих пор не было сделано), так и для аппроксимирующих систем. Здесь возникают различия в структуре разбиения пространства параметров и фазового пространства, позволяющие оценить влияние аппроксимаций на структуры разбиения и обнаружить, в частности, важную роль, которую играет «седловая величина» (см. гл. 9). Сохранение количественной близости характеристик не оказалось обязательным для сохранения качественной структуры разбиения фазового пространства и пространства параметров системы. Использование седловой величины при качественном исследовании сшитых систем опирается на возможность перенесения утверждений, касающихся условий устойчивости петли сепаратрисы (см. гл. 9) и рождения от нее предельных циклов, на неаналитические системы (см. гл. 17), содержащие петлю, в состав которой входит аналитическое седло.