§ 4. Изучение окрестности замкнутой траектории. Простые и сложные предельные циклы.

В настоящем параграфе излагается некоторое чисто теоретическое исследование окрестности замкнутой траектории. Это исследование хотя и носит чисто теоретический характер, но тем не менее дает весьма полезные

сведения о том, каков возможный характер замкнутых траекторий. Эти сведения имеют также первостепенный интерес для понимания поведения предельных циклов при изменении параметра. Пусть замкнутая траектория,

— какое-нибудь соответствующее ей движение, являющееся периодическим с периодом Если I — дуга без контакта, проведенная через какую-нибудь точку траектории то на части этой дуги, достаточно близкой к точке будет определена функция последования (см. § 1 настоящей главы). Пусть параметр на дуге значение этого параметра, соответствующее замкнутой траектории -функция последования. Введем функцию

Очевидно,

Разложим в ряд по степеням

Возможны следующие случаи.

Корень функции очевидно изолированный, замкнутая траектория является простым предельным циклом — устойчивым, когда

и неустойчивым, когда

но хотя бы одна из производных функции не обращается в нуль при т. е. существует такое к, что

Мы будем иметь, следовательно,

Корень функции так же как и в случае 1, изолированный. Замкнутая траектория называется сложным -кратным предельным циклом.

а) к нечетное. Предположим, что Тогда при

а при

Следовательно, всякая последующая точка на отрезке I ближе к точке (в которой замкнутая полутраектория пересекает отрезок I), чем предыдущая. Так как по самому построению функции последования последующая точка соответствует значению большему, чем предыдущая, то, принимая во внимание, что единственная замкнутая траектория, пересекающая рассматриваемую часть отрезка без контакта I, нетрудно показать, что всякая отличная от траектория, пересекающая отрезок I достаточно близко к точке при стремится к предельному циклу Предельный цикл является устойчивым (нечетно-кратным) предельным циклом (рис. 64, а).

Если то совершенно так же можно показать, что всякая траектория, пересекающая отрезок I достаточно близко к точке при стремится к предельному циклу

Рис. 64

Рис. 65

Предельный цикл является неустойчивым (нечетно-кратным) предельным циклом (рис. 64, б).

б) к четное. Тогда при в зависимости от знака либо т. е. (если либо т. е. (если Нетрудно показать, что в случае, когда все траектории, проходящие через точки отрезка I, соответствующие значениям стремятся к при а все траектории, проходящие через точки отрезка I, соответствующие значениям стремятся к при и наоборот, когда (рис. 65).

Очевидно, в рассматриваемом случае (четное к) предельный цикл неустойчив. Однако часто предельный цикл этого типа

называют полуустойчивым (четно-кратным), сохраняя термин «неустойчивый» лишь для цикла, к которому все достаточно близкие траектории стремятся при

3. Производные всех порядков от функции при равны нулю, т. е. при всех Тогда т. е. функция последрвания имеет вид

В этом случае все траектории, проходящие через достаточно близкие к точки, замкнуты (этот случай аналогичен случаю центра).

На рис. 61 и 62 даны диаграммы Ламерея для случая нечетно-кратного предельного цикла (см. рис. 62) и четно-кратного предельного цикла (см. рис. 61).

Рассмотрение функции последования, в частности условий кратности замкнутой траектории, было проведено при определенном выборе дуги без контакта. Однако можно показать, что эти условия не зависят от выбора дуги без контакта и от выбора параметра на этой дуге (при условии, конечно, что параметрические уравнения рассматриваемых дуг являются аналитическими функциями).

Рис. 66

Далее, из проведенного исследования функции последования, в котором существенно использовался тот факт, что функция последования является аналитической функцией, очевидно вытекает, что у системы с аналитическими правыми частями:

1) не может существовать бесчисленное множество предельных циклов, накапливающихся к замкнутой траектории;

2) не может существовать замкнутая траектория такая, что вне (внутри) нее все траектории не замкнуты, а внутри (вне) нее — замкнуты, т. е. не может осуществляться, например, случай, представленный на рис. 66.

Рис. 67

Указанные свойства могут быть сформулированы в виде следующего предложения.

Теорема 1. Если у динамической системы (А), правые части которой — аналитические функции, существует замкнутая траектория, то она либо является изолированной, либо все траектории в ее окрестности замкнуты.

Сделаем еще одно замечание, которое бывает весьма полезным в ряде случаев.

Пусть предельный цикл — устойчивый, неустойчивый (простой или сложный) или полуустойчивый. В любой достаточно малой его окрестности, именно в любой такой окрестности, которая не содержит ни состояния равновесия, ни отличных от него предельных циклов, всегда могут быть построены циклы без контакта, как лежащие вне (содержащие внутри), так и лежащие внутри (рис. 67).