1. Некоторые видоизменения критериев Бендиксона и Дюлака.

Нетрудно видеть, что критерий Бендиксона и критерий Дюлака являются очень частными критериями: их выполнение возможно лишь для динамических систем с очень частными свойствами. Действительно, при неравенстве нулю выражения в некоторой области в этой области не может быть не только замкнутых траекторий, но вообще никаких замкнутых контуров из траекторий (не только из сепаратрис), не может также быть двух узлов, из которых один устойчивый, а другой неустойчивый.

В самом деле, в устойчивом узле мы должны иметь

а в неустойчивом узле соответственно

А тогда на всякой кривой, соединяющей точки очевидно, должна лежать по крайней мере одна точка, в которой обращается в нуль.

Следующее небольшое видоизменение критериев Бендиксона и Дюлака может оказаться полезным при рассмотрении конкретных систем.

Пусть для системы (А) кривая

является в некоторой области незамкнутой кривой без особых точек (т. е. линией), в обе стороны выходящей из или

дящей в бесконечность, если неограниченная область, не имеющей контактов с траекториями системы (А). Тогда у системы (А) в области не может быть замкнутых траекторий.

Действительно, нетрудно видеть (проводя рассуждение, аналогичное проведенному выше), что если бы у системы (А) существовала лежащая в замкнутая траектория, то она непременно должна была бы пересекать линию и при этом, очевидно, не менее чем в двух точках и, во всяком случае, по крайней мере в двух точках в противоположных направлениях, что, очевидно, невозможно, так как по предположению линия является линией без контакта.

Совершенно аналогично можно сформулировать следующее видоизменение критерия Дюлака.

Пусть — некоторая однозначная аналитическая в области функция, и пусть линия

является в области незамкнутой линией без особых точек, не имеющей контактов с траекториями системы (А). Тогда у системы (А) не может быть замкнутых траекторий, целиком лежащих в области