§ 5. Возможные типы полутраекторий и их предельных множеств.

Сформулированные теоремы позволяют установить возможный характер множества предельных точек полутраектории,

целиком лежащей в ограниченной части плоскости. Именно, это множество может быть одного из следующих типов:

I. Одно состояние равновесия.

II. Одна замкнутая траектория.

III. Совокупность состояний равновесия и траекторий, стремящихся к этим состояниям равновесия как при так и при

Нетрудно видеть, что состояния равновесия, входящие в множества предельных точек типа III, не могут быть фокусами или узлами, так как всякая траектория, попавшая в достаточно малую окрестность такого состояния равновесия, стремится к нему и не может иметь никакой другой предельной точки.

Рис. 24

Следовательно, состояния равновесия, которые могут входить в множество точек типа III, в случае, если эти состояния равновесия простые (см. гл. 3), непременно являются седлами, а отличные от состояний равновесия траектории, входящие в это множество, — сепаратрисами седел.

Рис. 25

Зная возможные типы предельных множеств, мы можем сразу сказать, какие типы полутраекторий возможны. Очевидно, мы получаем следующие типы: 1) состояние равновесия;

2) замкнутая полутраектория;

3) полутраектория, стремящаяся к состоянию равновесия (рис. 24, а); 4) полутраектория, стремящаяся к замкнутой траектории (рис. 24, б); 5) полутраектория, стремящаяся к предельному множеству типа III (рис. 25). Очевидно, во всех примерах § 12 гл. 1, кроме примеров 1 и 2, существовали траектории типа 1), т. е. состояния равновесия. Кроме того, все не являющиеся

центрами состояния равновесия были со- (или а-) предельными для отличных от них траекторий. Замкнутые траектории существуют в примерах 5 и 7, причем в примере 1 замкнутая траектория изолирована (предельный цикл). В примере 7 существуют также траектории типа 4) (это все траектории, лежащие вне и внутри предельного цикла). Полутраектории типа 5) встречаются в рассмотренных далее примерах.

Приведем еще две основные теоремы, касающиеся уже не отдельной траектории, а всей совокупности траекторий в целом.

Теорема 6. Если замкнутая траектория динамической системы (А) не содержит внутри точек границы области то внутри нее непременно лежит хотя бы одно состояние равновесия.

Следствие 1. Внутри всякого цикла без контакта всегда существует по крайней мере одно состояние равновесия.

Рис. 26

Следствие 2. Пусть траектория пересекает дугу без контакта I более чем в одной точке, пусть две последовательные по точки ее пересечения с дугой простая замкнутая кривая, состоящая из части дуги I и дуги траектории (рис. 26). Если внутри замкнутой кривой С не лежат точки границы области то внутри нее непременно должно лежать хотя бы одно состояние равновесия.

Теорема 7. Пусть изолированное состояние равновесия. Тогда либо в любой сколь угодно малой окрестности точки лежит замкнутая траектория, содержащая внутри себя, либо существует траектория, стремящаяся к (при или при