§ 4. Понятие грубости и степени негрубости для динамических систем на цилиндре. Бифуркации на цилиндре. Поворот поля.

Определение грубости и первой степени негрубости системы на цилиндре в области, ограниченной двумя циклами без

контакта, охватывающими цилиндр, совершенно такое же, как и на плоскости, и мы его не приводим.

Необходимые и достаточные условия для грубости и первой степени негрубости динамической системы на цилиндре, с очевидными дополнениями (касающимися замкнутых траекторий и замкнутых контуров, охватывающих цилиндр) те же, что и на плоскости, именно:

А. Для того чтобы динамическая система на цилиндре была грубой в области ограниченной двумя циклами без контакта, охватывающими цилиндр, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1) В области существуют только грубые состояния равновесия (т. е. состояния равновесия, для которых и в случае, когда ).

2) В области нет предельных циклов, как не охватывающих, так и охватывающих цилиндр, для которых

3) В области не может быть сепаратрис, идущих из седла в седло.

Б. Для того чтобы динамическая система на цилиндре была системой первой степени негрубости, необходимо и достаточно выполнение следующих условий (ср. гл. 9):

1) Система имеет одну и только одну из негрубых особых траекторий следующих типов:

а) двукратное состояние равновесия седло-узел;

б) сложный фокус первого порядка ;

в) двукратный предельный цикл, не охватывающий или охватывающий цилиндр (т. е. предельный цикл, для которого , а в функции последования );

г) сепаратрису, идущую из седла в седло, причем в случае, когда сепаратриса идет из седла в него же, она может как не охватывать, так и охватывать цилиндр, и при этом в седле должно быть

2) Сепаратриса седла не может иметь в качестве своей предельной траектории сепаратрису, идущую из седла в то же седло (образующую петлю, либо не охватывающую, либо охватывающую цилиндр).

3) Сепаратриса седло-узла не может: быть одновременно и и -сепаратрисой седло-узла; быть одновременно сепаратрисой седла.

4) С двух различных сторон двукратного цикла (как охватыващего, так и не охватывающего цилиндр) к нему не могут стремиться сепаратрисы седел.

Бифуркации в динамических системах на цилиндре, при которых исходная система (или система, соответствующая

бифуркационному значению параметра, в случае, когда рассматривается система, правые части которой зависят от параметра) является системой первой степени негрубости, те же, что и описанные в гл. 10, со следующими очевидными добавлениями.

I. Двукратный цикл, охватывающий цилиндр при достаточно малых добавках, либо разделяется на два цикла, охватывающих цилиндр, либо исчезает.

II. Сепаратриса седла образующая петлю, охватывающую цилиндр (при этом в седле при всех достаточно малых добавках либо разделяется без рождения предельного цикла, либо разделяется с рождением предельного цикла, охватывающего цилиндр, причем этот предельный цикл (при условии, что единственный и устойчивый, когда и неустойчивый, когда Если сепаратриса седло-узла, охватывающая цилиндр, возвращается в него же (в узловую область седло-узла), то при всех достаточно малых добавках, при которых седло-узел исчезает, от сепаратрисы рождается предельный цикл, охватывающий цилиндр.

В случае динамических систем на цилиндре можно также отметить следующую бифуркацию от бесконечности:

IV. Рождение из бесконечности предельного цикла, охватывающего цилиндр (такое рождение происходит при смене устойчивости бесконечности (ср. гл. 11)).

Поворот поля. Как и в случае плоскости, мы скажем, что при переходе от системы

к системе

имеет место поворот поля (или поле поворачивается на угол одного знака), если во всех точках, отличных от состояний равновесия системы (А), одновременно являющихся состояниями равновесия системы (А), выполняется неравенство

Все сказанное в гл. 11 по поводу сепаратрис и, в частности, по поводу сепаратрис, образующих петлю, справедливо, очевидно, и для сепаратрис, образующих петлю, охватывающую цилиндр.

Предельный цикл, охватывающий цилиндр при повороте поля в одну сторону, поднимается вверх, а при повороте поля в другую сторону — опускается вниз.

Если на цилиндре существуют устойчивый и неустойчивый предельные циклы, охватывающие цилиндр, на которых направления обхода по одинаковы, то при повороте на угол такого знака, при котором устойчивый цикл поднимается, неустойчивый цикл опускается, а при повороте другого знака — наоборот.

Если на двух устойчивых циклах, охватывающих цилиндр, направления обхода по противоположны, то при повороте поля на угол одного и того же знака предельные циклы «двигаются» в противоположных направлениях.

Утверждения о поведении при повороте, аналогичные утверждениям гл. 11, справедливы также для устойчивого и неустойчивого предельных циклов, охватывающих цилиндр, на которых направления обхода по противоположны, а также для двукратного предельного цикла, охватывающего цилиндр, и для сепаратрисы, образующей петлю, охватывающую цилиндр.