Главная > Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 4. Понятие грубости и степени негрубости для динамических систем на цилиндре. Бифуркации на цилиндре. Поворот поля.

Определение грубости и первой степени негрубости системы на цилиндре в области, ограниченной двумя циклами без

контакта, охватывающими цилиндр, совершенно такое же, как и на плоскости, и мы его не приводим.

Необходимые и достаточные условия для грубости и первой степени негрубости динамической системы на цилиндре, с очевидными дополнениями (касающимися замкнутых траекторий и замкнутых контуров, охватывающих цилиндр) те же, что и на плоскости, именно:

А. Для того чтобы динамическая система на цилиндре была грубой в области ограниченной двумя циклами без контакта, охватывающими цилиндр, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1) В области существуют только грубые состояния равновесия (т. е. состояния равновесия, для которых и в случае, когда ).

2) В области нет предельных циклов, как не охватывающих, так и охватывающих цилиндр, для которых

3) В области не может быть сепаратрис, идущих из седла в седло.

Б. Для того чтобы динамическая система на цилиндре была системой первой степени негрубости, необходимо и достаточно выполнение следующих условий (ср. гл. 9):

1) Система имеет одну и только одну из негрубых особых траекторий следующих типов:

а) двукратное состояние равновесия седло-узел;

б) сложный фокус первого порядка ;

в) двукратный предельный цикл, не охватывающий или охватывающий цилиндр (т. е. предельный цикл, для которого , а в функции последования );

г) сепаратрису, идущую из седла в седло, причем в случае, когда сепаратриса идет из седла в него же, она может как не охватывать, так и охватывать цилиндр, и при этом в седле должно быть

2) Сепаратриса седла не может иметь в качестве своей предельной траектории сепаратрису, идущую из седла в то же седло (образующую петлю, либо не охватывающую, либо охватывающую цилиндр).

3) Сепаратриса седло-узла не может: быть одновременно и и -сепаратрисой седло-узла; быть одновременно сепаратрисой седла.

4) С двух различных сторон двукратного цикла (как охватыващего, так и не охватывающего цилиндр) к нему не могут стремиться сепаратрисы седел.

Бифуркации в динамических системах на цилиндре, при которых исходная система (или система, соответствующая

бифуркационному значению параметра, в случае, когда рассматривается система, правые части которой зависят от параметра) является системой первой степени негрубости, те же, что и описанные в гл. 10, со следующими очевидными добавлениями.

I. Двукратный цикл, охватывающий цилиндр при достаточно малых добавках, либо разделяется на два цикла, охватывающих цилиндр, либо исчезает.

II. Сепаратриса седла образующая петлю, охватывающую цилиндр (при этом в седле при всех достаточно малых добавках либо разделяется без рождения предельного цикла, либо разделяется с рождением предельного цикла, охватывающего цилиндр, причем этот предельный цикл (при условии, что единственный и устойчивый, когда и неустойчивый, когда Если сепаратриса седло-узла, охватывающая цилиндр, возвращается в него же (в узловую область седло-узла), то при всех достаточно малых добавках, при которых седло-узел исчезает, от сепаратрисы рождается предельный цикл, охватывающий цилиндр.

В случае динамических систем на цилиндре можно также отметить следующую бифуркацию от бесконечности:

IV. Рождение из бесконечности предельного цикла, охватывающего цилиндр (такое рождение происходит при смене устойчивости бесконечности (ср. гл. 11)).

Поворот поля. Как и в случае плоскости, мы скажем, что при переходе от системы

к системе

имеет место поворот поля (или поле поворачивается на угол одного знака), если во всех точках, отличных от состояний равновесия системы (А), одновременно являющихся состояниями равновесия системы (А), выполняется неравенство

Все сказанное в гл. 11 по поводу сепаратрис и, в частности, по поводу сепаратрис, образующих петлю, справедливо, очевидно, и для сепаратрис, образующих петлю, охватывающую цилиндр.

Предельный цикл, охватывающий цилиндр при повороте поля в одну сторону, поднимается вверх, а при повороте поля в другую сторону — опускается вниз.

Если на цилиндре существуют устойчивый и неустойчивый предельные циклы, охватывающие цилиндр, на которых направления обхода по одинаковы, то при повороте на угол такого знака, при котором устойчивый цикл поднимается, неустойчивый цикл опускается, а при повороте другого знака — наоборот.

Если на двух устойчивых циклах, охватывающих цилиндр, направления обхода по противоположны, то при повороте поля на угол одного и того же знака предельные циклы «двигаются» в противоположных направлениях.

Утверждения о поведении при повороте, аналогичные утверждениям гл. 11, справедливы также для устойчивого и неустойчивого предельных циклов, охватывающих цилиндр, на которых направления обхода по противоположны, а также для двукратного предельного цикла, охватывающего цилиндр, и для сепаратрисы, образующей петлю, охватывающую цилиндр.

1
Оглавление
email@scask.ru