§ 12. Устойчивость по Ляпунову.

В приведенной теории особых и неособых траекторий (§ 6) и определении схемы было использовано понятие орбитной устойчивости, и именно это понятие имело при этом значение.

Однако классическое понятие устойчивости решения — это введенное Ляпуновым и широко фигурирующее в математической литературе понятие «устойчивости по Ляпунову». Мы приведем здесь это понятие для случая решения двумерных задач динамических систем. (Полностью аналогичное понятие дано Ляпуновым для многомерных динамических систем и для неавтономных дифференциальных уравнений.)

Решение называется устойчивым по Ляпунову, если для любого найдется такое что для всех решений для которых выполняются неравенства

при всех будут выполняться неравенства

Если решение устойчиво по Ляпунову и если при достаточно малом будут выполняться условия

то решение называется асимптотически устойчивым.

Как уже указано, устойчивость по Ляпунову отличается от орбитной устойчивости. Поясним это различие на простом примере. Рассмотрим замкнутую траекторию в окрестности которой все траектории замкнуты. Она, очевидно, орбитно-устойчива. Предположим, что период на равен то, а на всех близких к ней траекториях отличен от (это - очень часто встречающийся случай). Всякая траектория проходящая при достаточно близко к точке на при значении будет, очевидно, проходить (в силу теоремы о непрерывной зависимости от начальных условий) сколь угодно близко к этой же точке при значении то. Но период на будет отличаться от То на некоторую сколь угодно малую величину

Тем не менее при неограниченном возрастании где — сколь угодно большое целое число) разность между гето и будет уже больше некоторой конечной величины, и точка на соответствующая этому значению будет находиться на конечном расстоянии от точки траектории

Таким образом, решение неустойчиво по Ляпунову. В приведенной же выше теории особых и неособых траекторий имеет значение лишь обратная устойчивость.