§ 4. Система со скачками на линии сшивания.

Рассмотрим уравнение [126—128]

в предположении, что характеристика имеет разрывы типа конечного скачка.

Пусть одна из точек разрыва. Эквивалентная уравнению (1) система

не определена на прямой Поэтому движение изображающей точки системы при попадании ее на эту прямую нуждается в доопределении. Естественно получить его следующим образом. В интервале заменим характеристику прямой, соединяющей точки Тогда на фазовой плоскости в полосе вместо

системы (2) будем иметь систему

где

На одной из прямых зафиксируем какую-нибудь точку с ординатой Может оказаться, что полутраектория системы (3), начинающаяся при в этой точке и проходящая внутри полосы, при всех достаточно малых вновь выходит из полосы при некотором в некоторой точке с координатами В этом случае примем такое доопределение: изображающая точка системы (2), попав в точку находится на прямой в течение времени равного пределу при после чего продолжает движение при (или в соответствии с системой (2) при начальных условиях при Если же рассматриваемая полутраектория системы (3) при всех достаточно малых целиком лежит в полосе, то примем такое доопределение: изображающая точка системы (2), попав в точку остается на прямой неограниченно долго. Ситуации, которые представятся при вычислениях, исчерпываются двумя указанными.

Рис. 218

Уравнение движения изображающей точки по прямой в обоих случаях получим предельным переходом в уравнениях рассматриваемой полутраектории системы (3): при

Перейдем к вычислениям. Выделим на прямой полупрямые (рис. 218)

и на прямой полупрямые

Траектории системы (3) осуществляют точечные преобразования полупрямой в полупрямые Назовем их соответственно преобразованием и преобразованием Параметрические уравнения функции соответствия будут для преобразования

для преобразования

Здесь и параметры (время перехода изображающей точки системы (3) с полупрямой соответственно на полупрямую V или

Рассмотрим случаи.

I. . Состояние равновесия (3) есть седло, расположенное внутри полосы — Соответствующая картина фазовых траекторий приведена на рис. 218, а.

Пусть отрезок, отсекаемый на полупрямой сепаратрисой, имеющий отрицательный наклон. Величина и при Поэтому, какую бы точку и на интервале ни фиксировать, при достаточно малых она участвует в преобразовании При этом первое из равенств (4) неявно определяет функцию время перехода из фиксированного и на полупрямую Ее предельное значение при (приложение I) есть

Во втором из равенств (4) положим и найдем при Это предельное значение (приложение II) есть

Фиксируем теперь какую-нибудь точку на интервале При малых она участвует в преобразовании При этом

первое из равенств (5) неявно определяет функцию время перехода из фиксированного и на полупрямую Ее предельное значение при (доказательство аналогично доказательству в приложении I) есть

Во втором из равенств (5) положим и найдем при 0. Это предельное значение есть

Фиксируем теперь и Рассмотрим изменение отрезка с уменьшением Для этого вычислим

Если то при малых величина убывает вместе с и точка участвует в преобразовании Первое из равенств (5) определяет функцию время перехода из и на полупрямую Ее предельное значение при есть (это следует из того, что в равенстве (8) можно сделать как угодно большим, если взять и достаточно близким к и из того, что в производная

Случай рассматривается аналогично. Величина возрастает с уменьшением и точка участвует в преобразовании Предельное время есть

При имеем В этом случае точка при любом лежит на сепаратрисе. Время доопределенного движения есть

Для нужно еще получить уравнения движения изображающей точки по прямой Для любого и это будет

Полученная схема доопределяемых движений по верхней части прямой приведена на рис. 219, а. Здесь для наглядности налегающие одна на другую траектории раздвинуты в горизонтальном направлении. Изображающая точка системы (2), попавшая в точку совершает мгновенный скачок в соответствии с формулой (7) и продолжает движение при в соответствии с системой (2).

Если то изображающая точка перескакивает в точку находится здесь в течение времени (6) и затем двигается при При изображающая точка перескакивает в точку и остается там неограниченно долго. Это движение является вырождением при движения по сепаратрисе седла системы (3).

Если то изображающая точка мгновенно перескакивает в точку и находится здесь в течение времени,

определяемого формулой (8), после чего продолжает движение при

Из соображений симметрии следует, что если в описанной схеме поменять и на на на и наоборот, то получим схему доопределенных движений по нижней части прямой

Рис. 219

II. . Состояние равновесия системы (3) при малых устойчивый узел, лежащий в полосе Соответствующая картина фазовых траекторий приведена на рис. 218, б.

Пусть отрезок, отсекаемый на полупрямой траекторией, проходящей через точку При имеем Поэтому для вычисления совпадают с соответствующими вычислениями п. 1. Если же полутраектория системы (3) начинается на отрезке то при малых она целиком лежит внутри полосы и время соответствующих доопределенных движений есть Уравнением движения по прямой как и в случае I, будет уравнение

Полученная схема доопределяемых движений по верхней части прямой приведена на рис. 219, б. Изображающая точка системы (2), попавшая в точку совершает мгновенный скачок в соответствии с формулой (7) и продолжает движение при в соответствии с системой (2).

При изображающая точка мгновенно перескакивает в точку и остается там неограниченно

долго. Будем говорить, что эти движения ведут в состояние равновесия являющееся вырождением при узла системы (3).

Из соображений симметрии следует, что если в описанной схеме поменять и на на то получим схему доопределенных движений по нижней части прямой

Состояние равновесия системы (3) есть седло, расположенное правее полосы —

Не приводя вычислений, опишем получающуюся в этом случае схему доопределенных движений (рис. 219, в). Изображающая точка системы (2), попавшая в точку , совершает мгновенный скачок в соответствии с формулой (7) и продолжает движение при в соответствии с системой (2).

Если — то изображающая точка мгновенно перескакивает в точку и находится здесь в течение времени, определяемого формулой (8), после чего продолжает движение при Изображающая точка системы (2), попавшая в точку совершает мгновенный скачок вверх в соответствии с равенством продолжает движение при в соответствии с системой (2). Если то изображающая точка мгновенно перескакивает в точку и остается здесь в течение времени после чего продолжает движение при за Состояние равновесия системы (3) при малых устойчивый узел, лежащий левее полосы Схема доопределенных движений та же, что и в

Случай и случай VI: получаются соответственно из случаев IV и III заменами: на , и на на и наоборот.

Из имеющихся шести случаев получим еще шесть, соответствующих изменению знака заменами: на на и на на и наоборот.

Рассматривая точечные преобразования прямых самих в себя, осуществляемые доопределенными движениями, совместно с точечными преобразованиями прямых самих в себя и одной в другую, осуществляемыми траекториями системы (2), можно провести качественное исследование системы для конкретной характеристики имеющей разрывы.

Пример 1. Пусть -функция периода такая, что при и пусть Этот пример иллюстрирует первый случай доопределения.

В качестве фазового пространства будем рассматривать полосу, заключенную между прямыми Точки этих прямых, имеющие одинаковые ординаты, отождествляем. Таким образом, точки разрыва характеристики находятся на линии склейки цилиндрического фазового пространства.

Рассмотрим точечное преобразование полупрямой в полупрямую осуществляемое траекториями системы (2). Если обозначить

то при параметрические уравнения функции соответствия этого преобразования запишутся в виде

Ее производные —

Асимптота —

Введем параметр Для кривая изображена на рис. 220 вместе с ломаной

являющейся графиком функции соответствия преобразования полупрямой в себя, осуществляемого доопределенными движениями, и построенной по формуле (7). На рис. 220 изображен случай, когда кривая и ломаная имеют общую точку на горизонтальном участке ломаной. Это означает, что на фазовом цилиндре имеется предельный цикл, при движении по которому изображающая точка имеет остановку в точке на время, определяемое первой строкой формулы (6). Легко видеть, что цикл устойчив и что более одного цикла быть не может. При увеличении точка пересечения кривой и ломаной попадает в начальную точку ломаной, что соответствует влипанию цикла в сепаратрису, образующую петлю (сепаратрису, идущую из состояния равновесия в то же самое состояние равновесия). Соответствующая бифуркационная поверхность в пространстве параметров а имеет уравнения ,

Исключив получим

При уменьшении точка пересечения кривой и ломаной переходит на наклонный участок ломаной, чему соответствует превращение «цикла с остановкой» в точке в «цикл без остановки».

Рис. 220

Рис. 221

Поверхность, разделяющая в пространстве параметров области существования цикла с остановкой и цикла без остановки, имеет уравнение Их можно переписать так:

и рассматривать как параметрические уравнения сечения поверхности плоскостью

На рис. 221 приведено сечение пространства параметров плоскостью . В области I нет циклов. В области II система имеет цикл с остановкой. В области III система имеет цикл без остановки. Качественная картина фазовых траекторий системы для случая цикла с остановкой приведена на рис. 222.

Пример 2. Этот пример отличается от примера 1 знаками и иллюстрирует второй случай доопределения.

Уравнения функции соответствия ее производных и асимптоты получаются из соответствующих уравнений примера 1, если считать заменить на тригонометрические функции на гиперболические со сходным названием и поставить минус перед второй производной.

Для получения всех значений и нужно менять от до то, при этом меняется от а и меняется от до где и

отрезки, отсекаемые сепаратрисами седла соответственно от полупрямых Кривая изображена на рис. 223 вместе с прямой являющейся графиком функции соответствия при преобразовании полупрямой в себя, осуществляемом доопределенными движениями.

На рис. 223 изображен случай, когда кривая и прямая имеют точку пересечения. Это означает, что на фазовом цилиндре имеется предельный цикл. Легко видеть, что он устойчив и что более одного цикла быть не может. При уменьшении прямая передвигается слева направо, и при некотором точка пересечения попадает в точку При этом предельный цикл влипает в сепаратрису седла образующую петлю.

Рис. 222

Рис. 223

Рис. 224

Соответствующая бифуркационная поверхность в пространстве параметров имеет уравнение

Качественная картина фазовых траекторий системы для случая, когда имеется предельный цикл, приведена на рис. 224.

Приложение I. Пусть Функцию определяемую первым из равенств (4), не существующую при доопределим ее пределом при Получившаяся при этом функция

удовлетворяет следующим условиям: 1) непрерывна, 2) если ], то производная

Следовательно, при зафиксированном на рассмотренном интервале и равенство определяет в некоторой окрестности точки однозначную непрерывную функцию такую, что . А так как при то при

Пусть теперь — 4). Так как то функция соответствующая фиксированному на рассматриваемом интервале и,

ограничена сверху функцией соответствующей любому и, фиксированному на интервале а предел этой ограничивающей функции при может быть сделан как угодно близким к нулю, если взять и достаточно близким к

Приложение II. При Это предельное значение находится непосредственной подстановкой предельного значения Если то положим в равенствах Первое из них при фиксированном малых определяет функцию такую, что

(Доказательство аналогично доказательству в приложении Положим теперь во втором из равенств и найдем, что при будет .

Пример 3. Пусть функция периода такая, что

Рис. 225

Схема доопределенных движений по прямой приведена на рис. 225, а (здесь масштаб по оси у уменьшен в раз). Изображающая точка, попавшая в точку где совершает скачок величиной 26 вниз прямой после чего продолжает движение при в соответствии с системой (2). Если то изображающая точка перескакивает в точку и находится в ней в течение времени

после чего продолжает движение при в соответствии с системой (2). Если то изображающая точка перескакивает и точку и остается там неограниченно долго. Если то изображающая точка перескакивает в точку и находится в ней в течение времени

после чего продолжает движение при Поведение изображающей точки, попавшей на прямую в нижнем полуцилиндре, аналогично (нужно поменять у на на

Точка будет состоянием равновесия, аналогичным седлу, а траектории, проходящие через точки сепаратрисами. Роль двух других сепаратрис выполняют траектории, выходящие из точки

Схема доопределенных движений по прямой приведена на рис. 225, б. Изображающая точка, попавшая в точку где совершает скачок величиной вверх по прямой после чего продолжает движение при в соответствии с системой (2). Если то изображающая точка совершает скачок величиной вниз по прямой после чего продолжает движение при в соответствии с системой (2).

Рис. 226

Точка будет состоянием равновесия, аналогичным неустойчивому узлу. Из него выходят траектории, проходящие через точки где или (Вертикальный участок такой траектории от точки до точки изображающая точка проходит скачком.)

Когда система доопределена на прямых можно проследить любое ее частное решение на любом отрезке времени

и провести ее качественное псследованпе. Исследование сходно с исследованием в примере 1, поэтому ограничимся лишь изложением результатов, относящихся к предельным циклам, охватывающим состояние равновесия.

Возьмем на прямой две полуоси: полуось и — вниз от начала координат и полуось вверх от начала координат. На рис. 226 сверху изображены траектории, осуществляющие отображение части полуоси и в полуось (слева), и траектории, осуществляющие отображение части полуоси в полуось и (справа). Графики функций приведены на том же рис. 226 внизу. Для функция находится обычным способом, только с учетом того, что все нужно сделать больше на величину скачка. Участок весь переходит в одну точку Для этих и имеем Аналогичные соображения можно высказать о функции

Цикл соответствует точке пересечения линий На рис. 227 показано изменение взаимного положения линий при изменении параметров. На рис. 228 — соответствующие превращения предельного цикла (соответствующие одна другой картинки на рис. 227 и 228 обозначены одинаковыми буквами). Очевидно, так же, как и в примере 1, расположение траекторий рис. 228 может быть изображено на цилиндре.

Для некоторой области в пространстве параметров линии имеют точку пересечения на кривых участках (рис. 228, а). Цикл не имеет кусков на прямых При соответствующем изменении параметров точка пересечения передвинется в точку излома линии

Рис. 227

При этом цикл коснется прямой При дальнейшем изменении параметров точка пересечения переходит на вертикальный участок линии (рис. 228, б). При этом на цикле появляется вертикальный участок на прямой который изображающая точка проходит скачком, после чего некоторое время стоит в точке прежде чем продолжит движение по циклу. В зависимости от дальнейшего изменения параметров возможны превращения двух типов: 1) концевая точка линии попадает на кривой участок линии При этом цикл влипает

в сепаратрису состояния равновесия образующую петлю, и исчезает. 2) Точка пересечения переходит на горизонтальный участок линии На цикле при этом появляется вертикальный участок и на прямой

Рис. 228

При дальнейшем изменении параметров концевая точка линии попадает на горизонтальный участок линии и Цикл влипает в сепаратрису состояния равновесия образующую петлю, и исчезает.