ДОПОЛНЕНИЕ

§ 1. Динамическое системы на двумерных поверхностях.

В настоящей книге приведен ряд сведений о двумерных динамических системах, фазовым пространством которых является плоскость или сфера. Здесь мы рассмотрим некоторые свойства динамических систем на двумерных поверхностях.

В гл. 12 уже рассматривались динамические системы на цилиндре, правые части которых являются периодическими функциями одного переменного. В целом ряде вопросов встречаются системы второго порядка, правые части которых — периодические функции двух переменных:

где

(период мы всегда, так же как и в случае цилиндра, можем считать равным Такую систему естественно рассматривать как систему, заданную на торе. При этом циклические координаты на торе (одна и та же точка тора соответствует бесчисленному множеству значений и и — целые числа). Кривые меридианы и параллели тора.

Рассмотрим простейшую динамическую систему на торе:

константы, не равные нулю.

Заменим систему одним уравнением:

Уравнение его интегральных кривых —

где и может принимать всевозможные значения Так как все траектории могут быть получены из траектории v = (соответствующей ) сдвигом вдоль меридиана и параллели, то для установления характера траекторий рассматриваемой динамической системы достаточно рассмотреть траекторию которую мы обозначили через Характер этой траектории существенно отличается в случаях, когда X — рационально и иррационально.

II. - рационально.

Пусть Тогда при мы имеем Точка с координатами совпадает с точкой и, следовательно, траектория замкнутая (она замыкается после оборотов вдоль меридиана и оборотов вдоль параллели) Все другие траектории имеют тот же характер.

II. X — иррационально.

В этом случае траектория заведомо незамкнута. Действительно, для того чтобы она была замкнута, должны существовать такие целые чтобы имело место равенство

что невозможно, так как по предположению X иррационально.

Нетрудно видеть, что через оборотов по и в ту или другую сторону мы получаем для значение Но значениям соответствует на торе один и тот же меридиан; на этом меридиане точки со значениями совпадают. Поэтому вместо мы будем рассматривать значения

где есть наибольшее целое число, содержащееся в иррациональном числе Справедливо утверждение: в случае, когда X иррационально, точки пересечения траектории со всяким мериданом всюду плотны на этом меридиане.

Это утверждение опирается на следующее предложение теории чисел: если X иррационально, то любом можно указать такое целое чтобы всякая точка отрезка находилась на расстоянии, меньшем от одной из точек

Из того факта, что в случае иррационального точки пересечения траектории всюду плотны на всяком меридиане, например на меридиане очевидно, следует, что каждая общая точка траектории с меридианом является и и -предельной для самой траектории, а следовательно, все точки траектории являются и и -предельными для самой траектории Траектория является самопредельной, незамкнутой.

В математической литературе траектория, все точки которой являются предельными для нее самой, называется устойчивой по Пуассону. На плоскости, на сфере и на цилиндре устойчивая по Пуассону траектория может быть либо состоянием равновесия, либо замкнутой траекторией. Рассмотренная выше траектория на торе при К иррациональном является примером невозможного на плоскости типа траектории и -устойчивой по Пуассону незамкнутой траекторией).

К рассмотрению динамических систем на других поверхностях естественно приводят дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной.

Пусть

— такое уравнение, где при аналитическая функция своих переменных. Очевидно, решением этого уравнения называется аналитическая функция такая, что имеет место тождество Разрешая уравнение (4) относительно мы можем при одних значениях х, у получить несколько действительных значений для а при других х, у — ни одного 6).

Предположим, что при значениях существует конечное число действительных значений Пусть эти значения. Если, кроме того, при любой из систем значений

то уравнение (4) может быть разрешено относительно и в окрестности мы получим к различных дифференциальных уравнений первого порядка, уже разрешенных относительно производной

где (в силу теоремы о неявных функциях) функции в окрестности значений аналитические функции.

Решение каждого из уравнений (6), очевидно, является решением уравнения (4). Через точку плоскости проходит к интегральных кривых с различными касательными. При некоторых значениях мы, очевидно, можем не получить ни одного действительного значения для

Однако при рассмотрении неявного уравнения (1) естественно пользоваться его геометрической интерпретацией как уравнения на двумерной поверхности. Именно, рассмотрим поверхность

Пусть, как и выше, точка, в которой

и одно из дифференциальных уравнений (6), - его решение, удовлетворяющее начальным значениям

Рассмотрим пространственную кривую, заданную уравнениями

т. е. кривая (9) лежит на поверхности (7). Пара функций удовлетворяет, как нетрудно видеть, следующим дифференциальным уравнениям:

Если ввести параметр полагая то для параметрических уравнений кривой, лежащей на поверхности (7), мы получим дифференциальные уравнения

Нетрудно видеть, что система (10) определяет векторное поле на поверхности (7), а решение этой системы

— проходящую через точку поверхности (7) целиком лежащую на ней траекторию этой системы.

Мы предполагали, что при рассматриваемых начальных значениях выполняется условие При значениях при которых одновременно

решения уравнений с разными могут сливаться (в этих точках касательная плоскость к поверхности параллельна оси

Если рассматриваемая поверхность не имеет особых точек, т. е. ни в одной точке поверхности не выполняются одновременно равенства то точки, в которых одновременно

являются, очевидно, состояниями равновесия системы (10). Состояния равновесия могут иметь тот же характер, что и на плоскости.

Поверхность, на которой рассматривается система (10), может быть как замкнутой, так и не замкнутой. Замкнутые поверхности (без особых точек) в трехмерном пространстве полностью расклассифицированы: это поверхности типа сферы пли сферы с различным числом «ручек» (двумя, тремя и

При рассмотрении динамических систем на поверхностях часто бывает целесообразно перейти от декартовых координат х, у к «локальным» координатам на поверхности (которые на поверхностях, отличных от тора, вводятся значительно сложнее, чем на торе).

Не останавливаясь в настоящем беглом обзоре сколько-нибудь подробно на свойствах динамических систем на поверхностях, отметим все же некоторые основные факты.

Траекториями динамических систем на поверхностях кроме траекторий тех же типов, что и на плоскости, могут быть еще незамкнутые, устойчивые по Пуассону, а также незамкнутые и неустойчивые по Пуассону траектории, имеющие в качестве предельных а- и -устойчивые по Пуассону (незамкнутые, самопредельные). В связи с наличием у динамических систем на поверхностях новых типов траекторий вопрос о схеме динамической системы на поверхности решается только для простейших случаев. Понятие грубости динамической системы на поверхности имеет то же значение, что и в плоской области, а необходимые и достаточные условия грубости системы с небольшими модификациями те же, что и в плоской области.

Вообще же в динамических системах на поверхностях возникает целый ряд новых по сравнению с динамическими системами на плоскости вопросов. Мы отсылаем читателя к специальной литературе (см. [16, 17, 3]).