§ 2. Некоторые простые примеры качественного исследования динамических систем на плоскости.

Пример 1 [31]. Рассмотрим систему примера 2 § 5 гл. 6, т. е. систему

В гл. 6 эта система рассматривалась при всевозможных значениях параметра но при некоторых ограничениях на значе-. ние k. Здесь мы рассмотрим изменение качественной структуры системы (1) в зависимости от входящих в нее параметров Яиц при любых

Напомним, что кривая контактов системы (1) с консервативной системой, соответствующей значению к — 0, есть

т. е. контакт ложный — траектории системы (1) при образуют с траекториями консервативной системы угол одного знака.

Заметим, что для двух различных значений параметра траектории системы с пересекают повсюду траектории системы с

Направление поворота векторного поля определяется знаком что следует из рассмотрения контактной кривой системы с и системы с

Кроме того, как мы видели, при фиксированном значении параметра при всех начало координат — фокус или узел, точка -седло, и положение и характер состояний равновесия на экваторе не меняются.

Разбиение сферы Пуанкаре на траектории при значениях параметра сохраняет свою качественную структуру при любых значениях

В случаях качественная картина разбиения сферы Пуанкаре на траектории зависит от величины параметра Я (см. подстрочное примечание на с. 126).

Рассмотрим случай При имеет место гл. 6.

При поведение сепаратрис седла попадающих внутрь областей ограниченных сепаратрисами консервативной системы и дугами экватора (эти области не содержат особых точек, лежащих в конечной части плоскости), в силу поворота поля определяется однозначно (см. рис. 87 гл. 6). Поведение седла, попадающего в область ограниченную сепаратрисами и консервативной системы и дугой экватора и содержащую внутри себя особую точку, не определяется однозначно и зависит от параметра Я.

Есть три возможности для поведения этого седла:

а) идет в узел на экваторе;

б) идет в сложную особую точку (седло-узел) на экваторе;

в) идет в особую точку К (фокус или узел) внутри области

Вторая возможность имеет место при значении параметра

В этом случае существует интегральная прямая, идущая из седла в особую точку (седло-узел) на экваторе. Уравнение интегральной прямой будет

что непосредственно проверяется. Качественная структура разбиения сферы Пуанкаре на траектории определяется теперь

нозначно и изображена на рис. 124. Значение параметра очевидно, бифуркационное. При качественная картина будет иметь вид такой же, как на рис. 88 гл. 6, а при будет иметь место рис. 87 гл. 6. Во всех случаях структура определяется однозначно.

Рассмотрим случай При имеем качественную картину, изображенную на рис. 84 гл. 6.

Рис. 124

Рис. 125

При однозначно определяется поведение смещенных сепаратрис, попадающих в области I-III (область I ограничена сепаратрисами и консервативной системы и близлежащей дугой экватора, область II заполнена замкнутыми кривыми, область III ограничена сепаратрисами и консервативной системы, отрезком оси х и дугой включающей дугу экватора). Они ведут себя так же, как при малых значениях К.

Поведение сепаратрисы, входящей в область IV (симметричную области III относительно оси не определяется однозначно и зависит от величины К (аналогично случаю здесь имеется три возможности).

1) При существует интегральная прямая

идущая из седла в седло-узел на экваторе сферы Пуанкаре — качественная картина изображена на рис. 125; — бифуркационное значение.

2) При поведение сепаратрисы определяется однозначно, и соответственно имеем качественные картины, изображенные на рис. 88, 89 гл. 6.

На рис. 126 представлено разбиение пространства параметров Точкам на осях а также на кривой соответствуют бифуркационные структуры.

3) При на фазовой плоскости существуют области, заполненные замкнутыми кривыми, при существуют сепаратрисы, идущие из седла в седло (интегральные прямые), и при сложная особая точка высокого порядка, распадающаяся при изменении параметра

Пример 2 [30].

Особые точки фазовой плоскости удовлетворяют системе уравнений

Рис. 126

Умножая первое из этих уравнений на у, второе на а; и вычитая, получим следующее уравнение, которому должны удовлетворять координаты особых точек:

Полагая мы получаем уравнение для к

Корни этого уравнения действительны в случае, когда

Обозначаем их через подставляя в одно из уравнений (3), получаем в этом случае пять состояний равновесия:

Состояние равновесия , очевидно, простое, если Нетрудно также видеть, что в случае остальные состояния равновесия тоже простые. Отметим, кроме того, что при прямые являются интегральными прямыми рассматриваемого дифференциального уравнения, так как соотношение

удовлетворяется тождественно при подстановке Действительно, мы имеем

или

так как выражение в скобках равно нулю есть корень уравнения (4)). Характер состояния равновесия в начале координат легко может быть определен по корням соответствующего характеристического уравнения. Для исследования остальных состояний равновесия достаточно ограничиться рассмотрением каких-либо двух, не лежащих одновременно на одной и той же прямой так как векторное поле, определяемое системой (3), симметрично относительно начала координат. (Система (3) не меняется при замене х на на .) Определение их характера путем вычисления характеристических корней очень громоздко, и это можно сделать проще, воспользовавшись теорией индекса Пуанкаре.

Так как при все состояния равновесия простые, и при изменении знака когда корни делаются мнимыми, исчезают (кроме ), то сумма их индексов должна равняться нулю. Кроме того, ни одно из них не может быть фокусом, так как через них проходят интегральные прямые Отсюда заключаем, что одно из них — седло, другое — узел.

Когда эти точки сливаются в двойную точку — седло-узел (если при этом

В случае две симметричные точки сливаются с особой точкой в начале координат в одну и образуют особую точку высшего порядка. Заметив, что при индекс особой точки в начале координат равен а при равен —1, заключаем отсюда, что сумма индексов особых точек, слившихся с началом, равна —2, т. е. эти особые точки — седла, и сложная особая точка имеет характер седла, а оставшиеся две — узлы.

В случае, когда

система имеет в начале координат единственную особую точку типа фокус. Постараемся выяснить наличие предельных циклов. Выберем в качестве топографической системы семейство окружностей

Тогда контактная кривая (т. е. кривая, где окружности (6) касаются траектории системы будет иметь вид

или

В полярных координатах

Радиусы крайних кругов, касающихся кривой контакта, определяются из условия которое дает Отсюда находим радиусы крайних кругов топографической системы, касающихся контактной кривой:

Предельный цикл лежит в кольцевой области между этими кругами, будут оба положительными, если или Последнее условие совпадает с условием, при котором кривая контактов имеет в начале координат изолированную точку:

Если это условие не выполнено, кривая контактов проходит через начало координат, а величина становится отрицательной, и можно лишь утверждать, что предельный цикл (если он существует) располагается внутри окружности радиуса Нетрудно доказать, что предельный цикл единствен. Воспользуемся с этой целью критерием Дюлака для кольцевой области (см. гл. 6). Очевидно, что функции

и

удовлетворяют условиям теоремы Дюлака для кольцевой области (см. гл. 6), так как в этом случае дифференцируема в любой кольцевой области окружающей начало координат. Легко проверить, что

не меняет знака в области Таким образом, цикл один.

Доказанная единственность предельного цикла позволяет утверждать, что при смене устойчивости особой точки в начале координат предельный цикл стягивается в особую точку.

В самом деле, в противном случае должно было бы существовать четное число предельных циклов. Отсюда же следует, что для а предельных циклов нет.

На рис. 127 и 128 даны картины разбиения сферы на траектории для случая одной особой точки: рис. 127 — для рис. 128 — для .

Взаиморасположение различных областей значений параметров системы (разбиение пространства коэффициентов системы) может быть дано в очень удобной и наглядной форме.

Рис. 127

Рис. 128

Заметим с этой целью, что заменой система (2) может быть приведена к виду, где (для Тогда пространство коэффициентов может быть реализовано в виде плоскости На рис. 129 изображены кривые разбивающие плоскость на области, соответствующие различным случаям разбиения сферы на траектории. Области I (рис. 129) соответствует разбиение сферы на траектории, изображенное на рис. 130; области II соответствует рис. 131 и т. д. Точкам плоскости, лежащим на прямой соответствуют бифуркационные значения параметра, при которых начало координат является особой точкой высокого порядка. Качественная картина на сфере эквивалентна в этом случае либо рис. либо рис.

Рис. 129

Штриховкой на рис. 129 покрыта область, для которой существует предельный цикл. Случай изображен на рис. 132.

Пример 3 [4].

Для исследования особых точек (состояний равновесия) удобно перейти к полярным координатам. Получим

Особые точки — точки пересечения изоклин

Кривая -изоклина в полярной системе координат — легко может быть построена.

Рис. 130

Рис. 131

При она состоит из двух симметричных относительно оси у замкнутых ветвей, охватывающих одна другую (сплошные замкнутые кривые на рис. 133). Кривая -окружность радиуса касающаяся оси у в начале координат (штриховые линии на рис. 133 соответствуют трем различным значениям а). Возможны три точки пересечения изоклин (8) и (7) (точка исключается): две с внешней ветвью (7) и одна с внутренней (см. рис. 133). С возрастанием параметра а точки пересечения внешней ветви (7) с окружностью двигаются навстречу друг другу и затем при сливаются; при дальнейшем возрастании а эта точка исчезает.

Пусть А фиксировано и выбрано так, чтобы кривая отделяла внешнюю часть кривой (7) от внутренней, не пересекаясь с ними. Это возможно сделать, так как при внутренняя ветвь стягивается в точку а наружная превращается в окружность При таком выборе А величина

меняет знак как раз на кривой следовательно, будет

положительной для особой точки на внутренней ветви кривой (7) и отрицательной для особых точек на внешней ветви.

Возьмем в качестве топографической системы Пуанкаре семейство окружностей и составим производную вдоль траекторий системы

Как видно, производная меняет знак на кривой (7). Две крайние кривые топографической системы, касающиеся контактной кривой (изоклины (7)), образуют кольцо, на внешней и внутренней границе которого производная имеет разные знаки.

Рис. 132

Рис. 133

Очевидно, что при больших будет Таким образом, на внешней границе кольца а на внутренней Через обе границы траектории входят внутрь кольца: Особая точка на внутренней ветви кривой (7) лежит внутри цикла без контакта, ее индекс Пуанкаре, следовательно, равен и точка может быть лишь узлом либо фокусом. Так как для нее выражение (9) положительно, то фокус или узел неустойчивы. Две другие точки лежат в кольце между циклами без контакта, следовательно, сумма индексов этих точек равна нулю, и одно из них седло. Вторая точка устойчива, так как для нее выражение (9) отрицательно.

Рис. 134

Проследим изменение качественной структуры траекторий в зависимости от параметра а. При прямая будет интегральной кривой. Качественная картина траекторий определяется однозначно и будет такая, как на рис. 134.

При возрастании а точки (седло и устойчивый узел) будут сближаться, но до момента слияния качественная структура не может измениться, так как не меняются число и характер особых точек и поведение сепаратрис и так как внутри кольца не могут возникнуть предельные циклы за счет сгущения траекторий. Последнее невозможно, потому что кривая лежит вне кольца (критерий Дюлака).

Рис. 135

Рис. 136

При дальнейшем возрастании а точки сливаются и затем исчезают.

Из особой точки седло-узел и сепаратрисы седло-узла (см. гл. 10, И) рождается единственный (так как в седло-узле) предельный цикл (рис. 135 и 136).