§ 2. Изучение поведения интегральных кривых в бесконечности. Сфера Пуанкаре.

Во многих случаях черезвычайно полезными для исследования вопроса о наличии замкнутых траекторий являются сведения о поведении траекторий при удалении в бесконечность, т. е., так сказать, исследование «бесконечно удаленных» частей плоскости. В случае, когда правые части динамической системы — многочлены, для этого используется отображение фазовой плоскости на так называемую «сферу Пуанкаре», т. е. на сферу радиуса единица, касающуюся плоскости в начале координат.

Рис. 69

Рис. 70

Каждой точке плоскости ставятся в соответствие две точки сферы, лежащие на прямой, проходящей через центр сферы и эту точку плоскости. На экватор (большой круг, параллельный плоскости отображаются бесконечно удаленные точки плоскости (рис. 69).

Интегральные кривые плоскости перейдут при этом в соответственные кривые сферы, причем седла, узлы и фокусы сохраняют тот же вид.

Однако на сфере появятся новые особые точки, лежащие на экваторе. Часто это будут особые точки высших порядков. Ортогональная проекция нижнего полушария на плоскость, касательную к сфере, дает удобное окончательное отображение всей плоскости на внутренность круга.

Пусть у системы (А) правые части и -многочлены по х и у.

Преобразование позволяет изучить особые точки, лежащие на экваторе сферы Пуанкаре, за исключением тех точек, которые соответствуют «концам» оси у. Можно построить плоскость, на которой будут служить прямоугольными декартовыми координатами: это будет касательная плоскость к сфере, перпендикулярная плоскости Ось и будет прямой, лежащей в плоскости экватора (параллельно оси Можно провести две такие плоскости. Направления осей будут зависеть от расположения касательной плоскости (рис. 70). Для исследования концов оси у нужно положить В этом случае плоскость будет располагаться параллельно оси

Преобразование

приводит систему (А) к системе

или к уравнению

Если привести правые части в системе (1) к общему знаменателю, то мы, очевидно, получим систему наибольшая степень многочленов и

Вводя новый параметр

Мы можем представить систему (2) в виде

очевидно, — многочлены) или в виде одного уравнения

Особые точки (на экваторе) находятся из уравнений

или (что то же) из уравнений

(второе из этих уравнений доопределяется при Если второе из уравнений не удовлетворяется тождественно, то экватор сферы Пуанкаре есть интегральная кривая. Если -многочлены одинаковой степени, то координаты особых точек на экваторе находятся как корни уравнения

где члены наивысшей степени в Каждый корень соответствует двум особым точкам на экваторе, расположенным диаметрально противоположно.

Всякая простая особая точка на экваторе есть либо узел, либо седло.

Критерий Пуанкаре. Если одинаковой степени, то простая особая точка будет седлом, если при изменении и от до выражение

переходит от отрицательных значений к положительным, и узлом, если указанное выражение переходит от положительных значений к отрицательным.