§ 5. Состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями.

Рассмотрим особо случай, когда т. е. корни характеристического уравнения чисто мнимые.

Рассмотрим соответствующую линейную систему, т. е. систему

Нетрудно убедиться, что все отличные от О траектории замкнуты (являются окружностями, см. пример 5 в § 12 гл. 1). Действительно, эта система имеет аналитический интеграл

Однако простые примеры показывают, что при наличии нелинейных членов состояние равновесия может иметь характер фокуса.

В этом нетрудно убедиться, рассматривая, например, систему

Переходя в ней к полярным координатам, мы получим

откуда

и, следовательно, все траектории при стремятся к состоянию равновесия (началу координат). Таким образом, в случае нелинейного уравнения при чисто мнимых характеристических корнях вопрос о характере состояния равновесия не решается линейными членами. Он требует специального рассмотрения.

Метод, которым в этом случае устанавливается характер состояний равновесия, применим также и в случае, когда корни комплексно сопряженные и действительные части их не равны нулю.

Поэтому мы предположим, что у состояния равновесия О системы (А) (которое мы, очевидно, можем считать лежащим в начале координат) характеристическими корнями являются комплексные сопряженные числа: где и а может как быть, так и не быть равным нулю.

Предположим, что система (А) имеет канонический вид, т. е.

Здесь действительная и мнимая части характеристических корней, а и -ряды по х и у, сходящиеся в некоторой окрестности начала координат, начинающиеся с членов не ниже второй степени, так что мы можем записать

однородные многочлены относительно х и у степени

Полагая т. е. переходя в системе (А) к полярным координатам, получаем

Так как то при всех достаточно малых в некоторой окрестности состояния равновесия,

(Это означает, что в рассматриваемом случае любая полупрямая во всех достаточно близких к началу координат точках не имеет контакта с траекториями системы

При полярный угол возрастает при возрастании а при убывает при возрастании При этом полярный угол возрастает при вращении против часовой стрелки. Для исследования характера рассматриваемого состояния равновесия удобнее систему уравнений (7) заменить одним уравнением, которое получается, если разделить первое из уравнений (7) на второе:

Функция - периодическая функция с периодом являющаяся аналитической при всех и всех достаточно малых Кроме того, т. е. есть решение уравнения (8). Функция может быть, следовательно, разложена в ряд по степеням сходящийся при всех значениях и всех достаточно малых

периодические функции с периодом

Рассмотрим решение уравнения (9), принимающее значение при

Оно является, очевидно, уравнением в полярных координатах траектории системы (А), проходящей через точку с полярными координатами Функция -аналитическая функция (при сделанном предположении об аналитичности правых частей системы и при этом, очевидно (так как есть решение уравнения (7)),

Если использовать (10) и теорему о непрерывной зависимости от начальных значений, то можно сделать следующее заключение: Все траектории системы (А), проходящие через достаточно малую окрестность начала О, пересекают каждую из полупрямых (рис. 39 для случая

Отсюда нетрудно видеть, что мы рассмотрим все траектории, проходящие через достаточно малую окрестность начала О, если будем рассматривать все траектории, проходящие через

достаточно малый отрезок (с концом в точке О) полуоси х (полупрямой ), т. е. если будем рассматривать решение (при

Так как функция -аналитическая функция и то ее можно разложить в ряд по степеням

сходящийся при всех и всех Эта функция является решением уравнения (9) и, следовательно, должна удовлетворять этому уравнению тождественно, т. е.

Рис. 39

Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Гц, мы получаем рекуррентные дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют функции ичфу.

Из условия

которое вытекает из самого смысла функции мы, очевидно, получаем

и, следовательно, из рекуррентных дифференциальных уравнений (11) мы можем последовательно определить В частности,

Полагая в решении получим значения соответствующие следующим после начальной точкам пересечения траекторий с положительной полуосью Функция

где называется функцией последования на части положительной полуоси х, соответствующей значению

Коэффициенты а, функции последования называются фокусными величинами.

Несложные вычисления показывают, что

Введем функцию

Имеет место следующая теорема.

Теорема 1 (Ляпунов). Первый не равный нулю коэффициент в разложении функции непременно нечетного номера.

Если то первый не равный нулю коэффициент (в силу сформулированной теоремы он всегда нечетный) называется ляпуновской величиной. Если то часто коэффициент обозначается через и называется первой ляпуновской величиной.

Если то называется второй ляпуновской величиной и т. д.

Рассмотрение функции позволяет сделать исчерпывающие заключения относительно характера траекторий в окрестности состояния равновесия О.

Возможны следующие случаи:

1. Либо (т. е. ), либо (т. е. ), но хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Пусть в случае первый отличный от нуля коэффициент в (12) (в силу теоремы Ляпунова нечетно).

Все траектории, проходящие через достаточно близкие к точке О точки, — спирали. Эти спирали стремятся к состоянию равновесия О: а) при когда или когда (т. е. когда при когда или (т. е. когда Состояние равновесия имеет характер фокуса. Когда имеет место уже указанный в § 3 случай III (грубый фокус). В случае, когда состояние равновесия называется сложным фокусом кратности к или -кратным сложным фокусом.

2. Все коэффициенты равны нулю. В этом случае (т. е. следовательно, все траектории, проходящие через точки достаточно малой окрестности, замкнуты. Состояние равновесия есть центр.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 2 (Ляпунов). Необходимое и достаточное условие того, что состояние равновесия системы (А), имеющее чисто мнимые характеристические корни, есть центр, заключается в том, что система (А) имеет в окрестности этого состояния равновесия аналитический интеграл.

Этот интеграл имеет вид

( содержат х, у в степени выше второй.)