§ 5. Топографическая система Пуанкаре. Функция Ляпунова. Кривые контактов.

Будем предполагать, что начало координат является состоянием равновесия системы (А). Рассмотрим семейство аналитических кривых

обладающих следующими свойствами:

1) Функция определена и аналитична во всех точках некоторой области содержащей начало и не содержащей других состояний равновесия системы. В частности, область может совпадать со всей плоскостью этом случае стремится к бесконечности.

2) , если или у отличны от нуля.

3) причем точка является изолированной точкой кривой

т. е. в окрестности этой точки может быть записана в виде

где определенно положительная квадратичная форма при всех х, у, не равных нулю одновременно) и начинается с членов не ниже третьей степени.

При выполнении этих условий кривые в области образуют систему замкнутых кривых, лежащих одна внутри другой и содержащих внутри начало координат.

При этом через каждую точку области проходит только одна кривая. Семейство замкнутых кривых, обладающих указанными свойствами, называется топографической системой Пуанкаре.

Если мы подставим в функцию вместо х и у решение системы (А), т. е. будем рассматривать функцию

а затем продифференцируем ее по то получим

Подставляя вместо и соответственно Р(х, у) и и предполагая, что любое из решений системы (А), мы получим «производную от функции в силу системы т. е.

Отметим, что геометрическое место точек, в которых правая часть этого выражения обращается в нуль, является геометрическим местом точек, в которых кривые топографической системы касаются траекторий. Действительно, наклон касательной к кривой топографической системы есть а к траектории есть и когда правая часть соотношения (11) обращается в нуль, эти наклоны равны. Если при всех значениях х, у в некоторой области содержащей начало (область G может совпадать с областью или являться частью мы имеем

то функция называется функцией Ляпунова для системы (А) в области

Очевидно, в этом случае кривые

являются замкнутыми кривыми без контакта для траекторий системы (А). Если все траектории пересекают эти кривые при возрастании входя в них, т. е. если

состояние равновесия является устойчивым состоянием равновесия (его качественный характер будет такой же, как у узла или фокуса). Если все траектории пересекают эти кривые при возрастании выходя из них, т. е.

то состояние равновесия неустойчиво. Качественный характер его такой же, как и в предыдущем случае, только направление по траекториям прямо противоположно.

Геометрическое место точек, в которых кривые топографической системы касаются траекторий, называется кривой контактов. Уравнение кривой контактов имеет вид

Если удается выбрать топографическую систему так, чтобы кривая контактов имела изолированную точку в начале координат и не имела ветвей, уходящих в бесконечность, то такая топографическая система оказывается инструментом для улавливания предельных циклов. Предельный цикл (если он существует) должен пересекать кривую контактов, так как предельный цикл непременно касается каких-то кривых топографической системы и поэтому может лежать только межу крайними кривыми (внешней и внутренней), касающимися кривой контактов.

Если кривая контактов не имеет действительных ветвей, предельные циклы не могут существовать.

Пусть внутренняя, внешняя кривые, касающиеся кривой контактов. Можно утверждать, что существует по крайней мере один предельный цикл (нечетное число), если между кривыми нет особых точек и если производная

имеет разные знаки на кривых может обращаться в нуль в отдельных точках).

Пример 1 [53].

В качестве топографической системы возьмем семейство окружностей Кривая контактов будет иметь вид

или

В полярных координатах

Следовательно, кривая контактов — окружность.

Радиусы крайних кругов топографической системы, касающихся кривой контактов, будут

Определим знак на кривых

В полярных координатах

и, следовательно,

Таким образом, фазовые траектории с возрастанием через обе граничные кривые входят внутрь кольцевой области. Применим критерий Дюлака, полагая :

Кривая (окружность радиуса ) для случая располагается внутри меньшего круга топографической системы (рис. 78) и, следовательно, внутри кольца между крайними кругами топографической системы знака не меняет.

Рис. 78

Рис. 79

Внутри кольца не может быть более одного предельного цикла (рис. 79).

Использование систем сравнения. Иногда при исследовании динамической системы можно получить сведения о ее качественной структуре, сравнивая ее с динамической системой, качественная структура которой известна. Под сравнением здесь подразумевается оценка угла между векторами исследуемой системы и системы сравнения и, в частности, установление отсутствия контактов между векторными полями, заданными данной системой и системой сравнения.

Если рассматривается система (А), а системой сравнения является

то, очевидно, нужно рассмотреть выражение

которое обращается в нуль в точках касания траекторий системы (А) и системы сравнения.

Использование топографической системы Пуанкаре можно рассматривать как частный случай использования системы сравнения. Системой сравнения в этом случае является система

В некоторых случаях, когда система содержит то или другое число параметров, иногда удается в качестве удобной системы сравнения взять рассматриваемую систему при частных значениях параметров.

Пример 26).

Предполагая отличным от нуля, можно свести исходную систему, изменяя масштабы по переменным к системе с двумя параметрами

Найдем ее особые точки и выясним их характер.

В конечной части плоскости — две особые точки: Обе точки простые, их характер определяется по корням характеристических уравнений:

В точке всегда седло (корни имеют разные знаки). В точке К при всегда центр, при фокус, при узел (устойчивый при и неустойчивый при ).

Для исследования бесконечно удаленных частей плоскости воспользуемся отображением фазовой плоскости на сферу Пуанкаре.

Преобразование позволяет изучить особые точки, лежащие на экваторе сферы Пуанкаре, за исключением особых точек, в которые проектируются концы оси у.

В новых координатах система (12) примет вид

Особыми точками на экваторе сферы Пункаре будут точки, координаты которых удовлетворяют уравнениям При это сложные состояния равновесия с два седло-узла. При особые точки, сливаясь, образуют на концах оси х новую особую точку — топологическое седло (случай кратность которого равна пяти.

Справедливость этих утверждений можно проверить, проделав рассмотрение, описанное в гл. 4.

Для исследования концов оси у сделаем преобразование

В новых координатах система (12) примет вид

и особой точкой, интересующей нас, является точка с координатами Оба корня характеристического уравнения для всех значений параметров будут равны единице. Таким образом, соответствующая точка экватора — простой узел.

Рассмотрим случай Исходная система допускает интеграл

что непосредственно проверяется.

Так как в начале координат — центр, в точке седло, то качественная структура определяется поведением сепаратрис.

Найдем уравнение сепаратрис из условия, что они проходят через точку Получим

или

где

При происходит касание кривых и уч. Разность обращается в нуль дважды: если или . В этих случаях сепаратриса образует петлю.

При интегральными кривыми будут гиперболы

т. е. сепаратрисы седло-узлов на экваторе сферы Пуанкаре.

Исходя из вышеизложенного, можно представить всевозможные качественные картины консервативного случая

При на экваторе сферы Пуанкаре возможна единственная особая точка — простой узел, и, как было отмечено, сепаратриса седла имеет петлю. Качественная картина изображена на рис. 80.

При седло уходит в бесконечность, образуя в точке с координатами и сложное состояние равновесия — топологическое седло. Общий интеграл имеет вид

При кривые замкнуты, при кривые не замкнуты, при получим параболу которая является сепаратрисой топологического седла на экваторе сферы Пуанкаре.

Рис. 80

Рис. 81

Качественная картина изображена на рис. 81.

Значение параметра является бифуркационным.

Рис. 82

Рис. 83

При возрастании от значеиия сложная особая точка на экваторе распадается на два седло-узла на экваторе и седло в конечной части плоскости. Качественная картина на сфере Пуанкаре при имеет вид, изображенный на рис. 82.

Значение параметра опять является бифуркационным. В этом случае сепаратрисами седла и седло-узлов на экваторе будут прямые Качественная картина имеет вид, изображенный на рис. 83.

При качественная картина имеет вид, изображенный на рис. 84.

Приведенные качественные структуры представляются исчерпывающими (единственно возможными) для консервативного случая

Рис. 84

Рис. 85

Для исследования качественной структуры при удобно использовать консервативную систему в качестве системы сравнения.

Рассмотрим изменение качественной структуры разбиения сферы Пуанкаре на траектории в зависимости от параметра и найдем контактную кривую интегральных кривых системы (12) с интегральными кривыми консервативной системы.

Уравнение контактной кривой имеет вид

В нашем случае будет Заметим, что контакт на двойной прямой ложный, т. е. траектории системы (12) на прямой пересекают траектории консервативной системы с касанием.

При изменении параметра

1) Положение и характер состояний равновесия на экваторе сферы Пуанкаре не меняются.

2) Для всех начало координат — фокус или узел, в точке седло.

3) Замкнутые кривые консервативной системы, окружающие начало координат, превращаются в циклы без контакта для траекторий системы (12). Предельные циклы существовать не могут,

Рассмотрим, как изменяются качественные структуры при достаточно малых положительных значениях параметра Я.

Сначала выясним, как изменяются направления сепаратрис седла при возрастании Я. Перенося начало координат в точку для направлений, по которым сепаратрисы входят (выходят) в седло, получим уравнение

При возрастании от значения направления, по которым сепаратрисы входят в седло или выходят из седла, сместятся на отрицательный угол. Обратимся к рассмотрению отдельных случаев.

1. . Консервативный случай изображен на рис. 80. В силу вышесказанного один сед входит в область, заполненную замкнутыми кривыми, приближаясь к особой точке, другие же «усы» седла проходят вне области, заполненной замкнутыми кривыми, приближаясь к узлам экватора. Качественная картина определяется однозначно и будет иметь вид, изображенный на рис. 85.

Рис. 86

Рис. 87

2. . Консервативный случай изображен на рис. 81. Для всех проводя рассуждения, аналогичные случаю получим картину, изображенную на рис. 86.

3. . Качественная картина консервативного случая дана на рис. 82. В силу того, что при возрастании сепаратрисы смещаются на отрицательный угол, качественная картина разбиения на траектории сферы Пуанкаре для малых значений будет иметь вид, изображенный на рис. 87.

4. . Консервативный случай изображен на рис. 83. Для всех единственно возможной будет картина, изображенная на рис. 88.

Рис. 88

Рис. 89

5. . Консервативный случай изображен на рис. 84. Для малых значений качественная картина изображена на рис. 89. (В общем случае, аналогично случаю качественная структура определяется неоднозначно, см. § 2 гл. 14.)