ЧАСТЬ III. КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КОНКРЕТНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С АНАЛИТИЧЕСКИМИ ПРАВЫМИ ЧАСТЯМИ

ГЛАВА 14. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ПРИЕМАХ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

Введение. В настоящей части приводятся примеры качественного исследования динамических систем из приложений, в той или другой форме опирающиеся на изложенные в ч. I классические приемы качественного исследования (метод малого параметра, установление характера состояний равновесия, критерии Бендиксона и Дюлака, построение топографической системы, использование теории индексов) и на приемы, использующие теорию бифуркаций.

В книге особое внимание уделяется именно использованию методов теории бифуркаций.

Сделаем прежде всего некоторые общие замечания.

Мы уже говорили, что одной из наиболее трудных задач качественного исследования динамической системы является задача установления существования или отсутствия предельных циклов. При этом мы останавливались (см. § 13 гл. 1) на том элементарном факте, что по локальным свойствам разбиения на траектории ничего нельзя сказать о существовании или отсутствии замкнутой траектории.

Иногда в литературе встречаются работы, в которых делаются попытки дать общий универсальный алгоритмический метод отыскания предельных циклов для любых динамических систем с аналитическими (или неаналитическими) правыми частями.

Постараемся пояснить бессмысленность таких попыток на простом примере. Предположим, что рассматриваются всевозможные аналитические на некотором промежутке значений х функции и ставится вопрос об общем универсальном методе отыскания (разделения) корней любой из функций

Предположим, что рассматриваются функции аналит ческие при всех ставится вопрос об общем универсальном методе определения числа корней любой из этих функций на некотором конечном интервале значений х

По сделанному предположению относительно функций число их на конечном интервале обязательно конечно (но всегда, очевидно, можно указать функцию которой на этом интервале любое данное число корней). Однако функции рассматриваемого класса столь разнообразны (они зависят от счетного множества параметров, например коэффициентов тех рядов, в которые они могут быть разложены), что, очевидно, нет никаких возможностей дать метод определения числа корней на интервале годный для любой из этих функций.

Если бы мы обратились к вычислительным методам, то могли бы «выловить» корни, находящиеся друг от друга на расстоянии, не меньшем некоторого расстояния, допускаемого точностью вычислений. Между тем в силу широты рассматриваемого класса функций среди них всегда найдется функция, у которой корни находятся друг от друга на меньшем расстоянии и количество их может быть равно любому данному числу на рассматриваемом промежутке.

Таким образом, попытки установить общие, универсальные алгоритмические методы отыскания числа корней для указанного широкого класса функций заведомо лишены смысла.

Однако необходимо подчеркнуть, что ситуация делается совсем иной, когда класс рассматриваемых функций сравнительно узких! и зависит от конечного числа параметров. Так, например, если мы будем рассматривать всевозможные многочлены данной фиксированной степени и будем ставить вопрос о нахождении всех корней любого из этих многочленов

то, как известно, для решения этой задачи существует регулярный алгоритмический метод — классический метод Штурма.

Несомненно, задача о регулярных методах отыскания корней фуннции, принадлежащей некоторому классу функций, отличному от многочленов, но также зависящему от конечного числа параметров (в случае, конечно, когда этот класс функций хорошо определен), имеет смысл и может решаться.

Все сказанное относительно рассмотренной задачи определения числа корней может быть перенесено и на вопрос отыскания числа предельных циклов. Естественно думать, что, в то время как установление универсальных методов определения числа предельных циклов бессмысленно, в случае, когда правые части системы — любые аналитические (или неаналитические) функции, задача отыскания таких методов для систем узкого класса,

например для случая, когда правые части — многочлены данной фиксированной степени представляется имеющей смысл, однако, конечно, очень далекой от решения (такой метод определения числа предельных циклов был бы в некотором смысле аналогичен методу Штурма).

То же справедливо и в отношении динамических систем, правые части которых не обязательно многочлены, но зависят конечного числа параметров.

Из сказанного выше очевидно, что не только для задачи определения числа и расположения предельных циклов, но даже для значительно более простой задачи — задачи определения числа состояний равновесия, которая сводится к определению числа общих корней пары функций

также можно сделать полностью аналогичные высказывания.

В случае, когда многочлены данной фиксированной степени эта задача при использовании результанта этих многочленов, очевидно, сводится к методу Штурма.

В случае, когда рассматривается класс функций не обязательно являющихся многочленами данной фиксированной степени но зависящих от конечного числа параметров, то задача установления регулярных методов отыскания числа их общих корней приобретает смысл.

Очевидно, по отношению к задаче установления расположения сепаратрис, тесно связанной с задачей отыскания состояний равновесия предельных циклов, можно сделать аналогичные высказывания.

Всякая задача, возникающая из приложений, как правило, содержит то или иное конечное число параметров. Обычная задача качественного исследования такой системы заключается в установлении областей значений параметров с той или другой качественной структурой (т. е. с наличием тех или других режимов). При этом наиболее важным является указание тех областей значений параметров, в которых существуют предельные циклы или в которых предельные циклы отсутствуют.

В тех областях значений параметров, в которых есть предельные циклы, — в реальной системе, описываемой рассматриваемой динамической системой, — существуют автоколебания; в тех областях значений параметров, в которых нет предельных циклов, автоколебания отсутствуют.

Если динамическая система описывает какое-нибудь техническое устройство, то для устройств одного типа автоколебания вредны, для технических устройств другого типа (например, для генераторов) они нужны, так как они являются основой работы этого устройства.

Другими словами, качественное исследование системы, содержащей параметры, заключается в установлении разбиения пространства параметров бифуркационными пленками (в случае двух параметров — бифуркационными кривыми) на области с одинаковым качественным поведением фазовых траекторий и при этом, конечно, в установлении этого качественного поведения. Очевидно, все понятия теории бифуркаций (понятие грубости, первой степени негрубости, бифуркации) при этом крайне естественны и необходимы.

Методы качественного исследования динамической системы, правые части которой содержат параметры, использующие теорию бифуркаций, опираются на следующее общее, эвристически не вызывающее сомнений утверждение.

Если известно множество всех бифуркационных значений параметров (или доказано их отсутствие), известен характер всех бифуркаций при прохождении через различные бифуркационные значения и, кроме того, известна качественная структура динамической системы при каких-либо частных значениях параметров, то, используя соображения непрерывности, можно на основании этих сведений определить качественную структуру для любой точки во всем пространстве параметров.

Таким образом, знание бифуркационных значений параметров является очень важной задачей, так как знание этих параметров одновременно и помогает качественному исследованию, и дает разделение на области с различными качественными структурами.

Трудности в определении бифуркационных значений параметров заключаются в том, что явные аналитические выражения для условий, выделяющих бифуркационные значения параметров, фактически известны лишь в случае состояний равновесия (условия ). Однако в некоторых случаях удается косвенными соображениями установить наличие той или другой бифуркационной поверхности.

Иногда удается весьма эффективно использовать свойство поворота поля (в тех случаях, конечно, где поворот поля имеет место), а также знание качественной структуры при некоторых частных значениях параметров и т. д. Отметим, что всюду (за небольшим исключением) в дальнейших примерах грубые динамические системы заполняют области.

Один из основных вопросов качественного исследования — вопрос отыскания предельных циклов — в некоторых прикладных задачах иногда удается решать весьма распространенным классическим методом исследования нелинейных систем — методом малого параметра.

Очевидно, этот метод тоже в каком-то смысле можно считать методом теории бифуркаций, так как в этом методе фактически рассматривается бифуркация от линейной (нелинейной)

консервативной системы

При использовании этого метода, как мы видели (гл. 11, § 7), данная система рассматривается как система, близкая к линейной или нелинейной консервативной. Очевидно, для этого нужно специально представить рассматриваемую систему в таком виде. Это, во-первых, далеко не всегда бывает возможно в сколько-нибудь разумных границах и, во-вторых, требует предположения о малости по крайней мере одного из параметров, которое также не всегда соответствует тому, что имеет место в реальной задаче.

Кроме того, по смыслу метода малого параметра он не дает никаких методов оценки для величины параметров, при которых мы можем утверждать, например, существование цикла.

Тем не менее этот метод иногда бывает весьма полезным, и мы приведем в дальнейшем ряд задач, рассмотренных этим методом. Во всяком случае он дает знание качественной структуры при частных значениях параметров (именно, в предположении, что некоторые из параметров малы), которое вместе с исследованием вопроса о возможных бифуркациях при переходе от одной качественной картины к другой может помочь установить возможные качественные структуры системы и без всяких предположений о малости каких-либо параметров.

Отметим, что во всех рассмотренных в дальнейшем примерах грубые системы в пространстве параметров заполняют области.