§ 1. Рассмотрение системы (2) при аппроксимациях пилообразными функциями.

Примем такую аппроксимацию (рис. 229):

Состояния равновесия на полосе будут где

сшитое седло, сшитый неустойчивый узел, узел или фокус, седло. В пространстве параметров на прямой сливаются точки на прямой точки

1. Структура разбиения фазового пространства для точки

Рис. 229

Рис. 230

При на интервале совпадают изоклины вертикальных и горизонтальных наклонов, и возникает структура разбиения фазового пространства с отрезком покоя на интервале Интегральными кривыми, по которым движутся изображающие точки на интервале будут отрезок покоя, устойчивый на интервале и неустойчивый на интервале В точке интегральная кривая касается отрезка покоя и при попадает в область выше максимума изоклины горизонтальных наклонов и уходит в бесконечность. Предельных циклов нет. Все траектории при идут к устойчивой части отрезка покоя. Структура разбиения фазового пространства в окрестности отрезка покоя представлена на рис. 230.

2. Структура разбиения на прямой При возрастании от значения вдоль прямой отрезок покоя распадается, и на его концах возникают особые точки: сшитая из фокуса и седла и сшитый узел (неустойчивый). Изоклина горизонтальных наклонов располагается на интервале выше изоклины вертикальных наклонов, и сепаратриса седла заканчивавшаяся при на устойчивом куске отрезка покоя, превращается в траекторию, накручивающуюся на предельный цикл, охватывающий цилиндр

(бесконечность неустойчива). Устойчивый предельный цикл появляется из траектории, примыкающей к отрезку покоя, и куска отрезка покоя.

При возрастании вдоль прямой седло-фокус превращается при в седло-узел с устойчивой узловой областью. Обе -сепаратрисы сшитого седло-узла для близких к должны выходить из узла Для больших предельных циклов нет, так как -сепаратриса, входящая в седло-узел, имеет всюду отрицательный наклон. Справедливость этого следует из того, что если взять точку на -сепаратрисе, то при достаточно больших координата на прямой будет больше максимума изоклины горизонтальных наклонов так как в области векторное поле поворачивается по часовой стрелке при возрастании вдоль прямой и при этом растет, а

Качественные структуры, последовательно переходящие одна в другую при возрастании и А вдоль прямой будут эквивалентны некоторым представленным на рис. 168 гл. 16, § 4. Для любого из интервала структура разбиения фазового пространства эквивалентна изображенной на рис. 168, II—III, для на рис. 168, III, для на рис. 168, IV. Для расположение сепаратрис будет таким, как на рис.

3. Структура разбиения на полупрямой При возрастании от значений вдоль полупрямой кусок изоклины на интервале поворачивается вокруг точки и отрезок покоя распадается с возникновением трех особых точек: устойчивый фокус или узел, седло с направлениями для сепаратрис, определяемыми уравнением сшитый узел (неустойчивый). Контактная кривая с кривыми вырожденной системы при изменении параметров вдоль прямой будет следовательно, всегда проходит через седло. Векторное поле в области поворачивается при возрастании по часовой стрелке, и поэтому со-сепа-ратриса, идущая в седло по направлению не может пересекать интегральную кривую вырожденной системы, касающуюся отрезка покоя как раз в той точке, в которой при возникает седло, и входящую в седло по направлению Сепаратриса пересекает ось в точке и входит в область выше максимума изоклины горизонтальных наклонов. Предельных циклов, охватывающих цилиндр, нет при любых значениях на рассматриваемой полупрямой. Структура разбиения фазового пространства для всех точек этой полупрямой будет одинакова и эквивалентна изображенной на рис. 169, 8 (§ 4 гл. 16).

4. Разбиение пространства параметров на области с различными качественными структурами фазового пространства. Проследим за сменой структур и бифуркациями при изменении для фиксироваиного из интервала При качественная картина разбиения фазового пространства эквивалентна представленной на рис. 169, 1. Бесконечность устойчива. Для из интервала качественная картина будет эквивалентна представленной на рис. 169, 2. Бесконечность неустойчива. Из нее появился устойчивый предельный цикл. При в точке появляется сшитое вырожденное состояние равновесия или сшитый седло-узел с устойчивой узловой областью Качественная картина эквивалентна представленной на рис. 168, II—III или 168, III соответственно. При дальнейшем возрастании сложная сшитая особая точка разделяется на две простые: седло и устойчивый фокув Качественная картина эквивалентна представленной на рис. 169,5. Обе -сепаратрисы седла идут в точку (неустойчивый узел).

Рис. 231

При одна из -сепаратрис седла уходит в бесконечность. Качественная картина эквивалентна представленной на рис. 169, 8. Между линиями при возрастании осуществляются две бифуркации сепаратрис: при некотором возникает сепаратриса, идущая из седла в седло и при возникает петля сепаратрисы вокруг цилиндра.

Характер бифуркации при возникновении и разрушении петли сепаратрисы определяется знаком седловой величины

Кривая касается прямой в точке и располагается справа от нее. Слева от прямой для бифуркационных значений параметров седловая величина имеет отрицательное значение. С возрастанием при возникновении петли сепаратрисы к петле стягивается устойчивый предельный цикл.

При фиксированном из интервала при возрастании на интервале осуществляется лишь одна бифуркация: при возникает петля сепаратрисы вокруг цилиндра, к которой стягивается устойчивый предельный цикл. При фиксированном при изменении

на интервале изменения качественных структур не происходит.

Кривые соответствующие негрубым структурам, качественно эквивалентным изображенным на рис. 169, 5—6 и 169, 6—8, образуют бифуркационные кривые, начинающиеся в точке и заканчивающиеся на прямой соответственно в точках

На рис. 231 представлена без соблюдения масштабов схема разбиения пространства параметров Характер разбиения пространства параметров существенно отличается от разбиения для исходной системы (2) (см. рис. 167). В частности, здесь отсутствует область существования двух предельных циклов, охватывающих фазовый цилиндр. (Номера областей на рис. 231 соответствуют номерам качественных структур рис. 169.)