§ 5. Система, описывающая динамику проточного химического реактора.

Система [125, 129]

описывает динамику химического реактора полного перемешивания.

По смыслу задачи и все остальные параметры положительные (не обязательно целые).

1. Число и характер состояний равновесия. В рассматриваемойзадаче -трансцендентные функции,

позтому решение вопроса о возможном числе состояний равновесия требует специального рассмотрения.

Найдя из соотношения величину

и подставляя это выражение в находим, что абсциссы состояний равновесия удовлетворяют соотношению

Решить это трансцендентное уравнение относительно х сложно. Мы поступим иначе: именно, рассмотрим вспомогательную плоскость На этой плоскости соотношение (2) определяет семейство кривых, зависящих от параметра

Кривые (3), соответствующие различным как нетрудно видеть, не имеют общих точек. При каждом фиксированном абсциссы точек пересечения соответствующей кривой (3) с некоторой данной прямой являются абсциссами состояний равновесия системы (1). В рассматриваемой задаче имеет смысл лишь значение где а — корень уравнения

Это вытекает из того, что при

обращается в (4). Значения также не имеют смысла, так как из при значениях мы получаем

что, очевидно, невозможно всегда). (Отсюда следует, что изоклина целиком лежит в полосе

Из выражения для следует, что для каждой из кривых

Далее, можно показать, проводя элементарные вычисления, что вторая производная от функции обращается в нуль

только один раз при значении х, являющемся корнем уравнения

Отсюда следует, что каждая из кривых (3) имеет не более двух экстремумов и пересекается с любой из прямых не более чем в трех точках. Система имеет, следовательно, не более трех состояний равновесия. Рассмотрим, какие из состояний равновесия — узлы и фокусы и какие — седла. Дифференцируя по х выражение (2), где есть решение уравнения и принимая во внимание, что получаем

где

Таким образом, знак при заданных в состоянии равновесия, имеющем абсциссу х, противоположен знаку производной в точке кривой (3) с тем же Рассмотрим на плоскости кривую, являющуюся геометрическим местом экстремумов кривых (3).

Эта кривая очевидно получается, если мы исключим из уравнений

Уравнение этой кривой будет

Ее вид установлен в приложении I. Она пересекает ось х при некотором значении Будем обозначать через А часть кривой (7), лежащую над осью х (только эта часть рассматривается при сделанных предположениях относительно возможных значений переменных и параметров). На рис. 170 изображено семейство кривых (3) (тонкими линиями) и кривая А

(сплошной толстой линией). Из выражения для следует, что большему значению соответствует ниже находящаяся кривая (3). Если мало, то кривая (3) расположена высоко, не пересекает кривую и не имеет экстремумов. При больших кривая (3) пересекает линию и имеет в точках пересечения максимум и минимум.

Рис. 170

Нетрудно видеть, что для точек под линией знак положителен (см. формулу (5)), состояния равновесия — седла, а для точек над линией знак отрицателен, состояния равновесия — узлы или фокусы.

В точках линии в которых соответствующие состояния равновесия кратные, причем в точках линии не являющихся максимумом этой линии, — двукратные, а в точке, являющейся максимумом, — трехкратное.

Перейдем к выяснению устойчивости узлов и фокусов и установлению знака седловой величины в седле. Для этого выразим для каждого состояния равновесия

через координаты этого состояния равновесия. Для этого из выражений

выразим через х и остальные параметры. Мы получим

Рассмотрим на плоскости кривую т. е. кривую

Нетрудно установить, что эта кривая на плоскости имеет вид, представленный на рис. 170 (см. приложение II). Часть кривой, лежащей над осью х, будем обозначать через а.

Очевидно, если точка, соответствующая состоянию равновесия, расположена под кривой а, то для этого состояния равновесия значит, узлы и фокусы неустойчивы), если над кривой , то значит, узлы и фокусы устойчивы).

Если точка, соответствующая состоянию равновесия, лежит на кривой , то для нее и если при этом для нее то это состояние равновесия — сложный фокус. Так как кривая А зависит только от параметров а кривая а — еще и от параметра то взаимное расположение этих кривых может быть различным.

На рис. 170 представлены различные возможные случаи, которые мы обсудим ниже.

До сих пор мы имели дело с вспомогательной плоскостью Однако нашей задачей является также установление разбиения пространства параметров на области с различной качественной структурой. В рассматриваемой задаче естественно рассматривать плоскость параметров и ее разбиение при различных значениях параметров

Рассмотрим на плоскости бифуркационную границу, соответствующую кратным состояниям равновесия. Для этого нужно, исключая х и у из соотношений

получить соотношения между параметрами Однако в рассматриваемой задаче это сложно, а между тем параметрические уравнения этой границы могут быть получены просто.

Выражение для нами уже найдено (см. (7)), выражение для мы получим, находя из соотношения

Таким образом, параметрические уравнения границы между областью одного и трех состояний равновесия даются уравнениями

имеем Вычисляя нетрудно установить, что обращается в нуль только один раз одновременно с при некотором значении Это означает, что кривая имеет точку возврата. Кроме того,

есть возрастающая функция поэтому касательная вдоль линии (11) вращается монотонно.

Построенную по этим сведениям кривую на плоскости будем обозначать через Она не меняется при изменении параметр в уравнения (11) не входит). Точка возврата соответствует наличию у системы (1) тройного состояния равновесия; все остальные точки кривой наличию двукратного состояния равновесия типа седло-узла (за исключением одной точки, о которой будет сказано ниже).

Рис. 171

В заштрихованной области система имеет три состояния равновесия, в незаштрихованной — одно.

Найдем теперь на плоскости бифуркационную границу, соответствующую наличию состояния равновесия, для которого Для этого нужно исключить х и у из уравнений

Так же, как и в случае кривой здесь проще найти из этих уравнений параметрическое уравнение линии, которую будем обозначать через а. Мы получаем

Первое из этих выражений, очевидно, есть уравнение кривой а (на плоскости Функция имеет, как нетрудно показать, только один экстремум — минимум (см. приложение III).

В дальнейшем мы будем сопоставлять поведение кривых и а на плоскости с поведением кривых и а на плоскости

Нетрудно видеть, что кривые и а имеют общую точку при Кроме того, мы получаем в уравнениях (7) и (9) одинаковые значения для при значении

Так как меняется от 1 до то, очевидно, значение х будет меняться от до 1; при этом, однако, это значение будет соответствовать общей точке кривых когда и а лежат над осью общая левая точка кривой с осью

При возрастании до общая точка кривых будет двигаться по кривой вплоть до точки Считая и к фиксированными, укажем некоторые случаи расположения кривых и а на плоскости и соответствующее им расположение кривых и а на плоскости (кривые семейства (3) и кривая (11) при этом остаются неизменными, меняется только кривая о.

1) При близком к 1, кривая о целиком лежит под кривой только в седле. Узлы и фокусы (им соответствуют на плоскости точки над кривой а значит, в рассматриваемом случае и над кривой а устойчивы.

2) Пусть рассматриваются такие при которых у кривых и о общая точка существует, но максимумы кривых и а лежат справа от этой точки (штриховая часть линии о, лежащая под очевидно, соответствует седлам с ; см. рис. 170,а). Для линии а на плоскости самопересечение отсутствует (см. приложение IV). При кривых есть общая точка в которой эти кривые касаются (это можно проверить непосредственно по уравнениям этих кривых, а также вытекает из общей теории, см. гл. 11). Этой точке соответствует двукратная точка с Точкам кривой по одну сторону от точки соответствуют системы, имеющие седло-узел с устойчивой узловой областью, по другую сторону от точки с неустойчивой узловой областью. Сплошной части кривой а соответствует наличие у системы сложного фокуса, штриховой — седла (см. рис. 171, а).

3) Абсцисса общей точки абсцисса максимума но максимум а лежит снаружи от кривой (см. рис. 170,б). На плоскости кривая а имеет, как нетрудно видеть, самопересечение и общую точку с кривой А 6) (рис. 171,б). Отметим при этом, что, опираясь на монотонность поворота касательной вдоль кривой и кривой а, можно показать, что кривая о может иметь с верхней частью кривой не более двух общих точек пересечения. При этом эти точки не соответствуют системам, имеющим двукратное состояние равновесия с а соответствуют наличию у системы седло-узла и фокуса с (Эти общие точки и а соответствуют на кривых и о различным значениям

4) Абсцисса общей точки больше абсциссы максимума кривой А. Расположение линий на плоскости (х, у о) показано на рис. 170, в, а соответствующее расположение на плоскости на рис. 171, е. При дальнейшем увеличении может быть еще одна возможность, при которой состояние равновесия с меньшей абсциссой устойчиво, а с большей — неустойчиво. Мы предоставляем читателю проследить возникновение такой возможности на плоскости и соответствующую картину на плоскости На рис. 171 в области 1 у системы -единственное состояние равновесия, узел или фокус, в области 2 — три состояния равновесия, оба узла или фокуса устойчивы, в области 3 — фокус или узел с меньшей абсциссой неустойчив, фокус или узел с большей абсциссой устойчив, в области 4 — единственное состояние равновесия неустойчиво, в области 5 — три состояния равновесия, два неустойчивых узла или фокуса. Как уже указывалось, возможен еще случай, когда левое состояние равновесия — устойчивый фокус или узел, правое — неустойчивый.

2. Предельные циклы и петли сепаратрисы. Значениям лежащим на сплошной части линии а (см. рис. 171), соответствует наличие сложного фокуса. При изменении при которых точка пересекает сплошную часть линии о, фокус меняет устойчивость, при этом могут рождаться (или стягиваться) предельные циклы. Решение вопроса о числе и характере этих предельных циклов требует вычисления ляпуновской величины, что в рассматриваемой задаче весьма затруднительно.

Рассмотрим возможность существования предельного цикла, окружающего все три состояния равновесия. Непосредственно по правым частям системы (1) видно, что при малых (траектории направлены вверх), а при больших Следовательно, все траектории входят в прямоугольник, ограниченный прямыми где у достаточно велико, (а — величина, удовлетворяющая уравнению (4)). Поэтому при значениях параметров, при которых у системы существует единственный неустойчивый узел или фокус (это будет иметь место для значений параметров из области 1) заведомо должен существовать по крайней мере один устойчивый предельный цикл или нечетное число циклов — устойчивых на единицу больше, чем неустойчивых.

Будем предполагать, что цикл один.

Кривая а проходит через точку заострения кривой А лишь при специальных значениях параметров, при которых одновременно выполняются равенства

Если этих соотношений нет, то кривая а не проходит через точку заострения кривой А, и, следовательно, трехкратное

состояние равновесия системы, соответствующее точке заострения кривой имеет характер узла с (сложный узел) (см. гл. 4). Поэтому, когда мы на плоскости входим в область трех состояний равновесия через точку заострения, устойчивый предельный цикл будет окружать три состояния равновесия (он не может исчезнуть в сложном узле с Мы уже говорили о возможном рождении предельных циклов из сложных фокусов. При изменении параметров такие предельные циклы могут исчезать в петле сепаратрисы (или появляться из петли).

Полных сведений об образовании петель сепаратрис и о расположении соответствующих бифуркационных кривых в пространстве параметров получить не удается, но все же некоторую информацию об этом можно получить с помощью систем, соответствующих общей точке кривых точке В этом случае система имеет двукратное состояние равновесия, для которого

Как указано в § 4 гл. 10, при бифуркациях такого состояния равновесия возникает петля сепаратрисы. При значениях параметров, при которых точка лежит на нижней ветви кривой (см. рис. 171, а, б), нетрудно видеть, опираясь на проведенное исследование характера состояний равновесия, что эта петля окружает левое состояние равновесия — узел или фокус. При значениях же параметров, при которых точка лежит на верхней части кривой при бифуркациях точки появляется петля вокруг правого узла или фокуса. Пусть параметры изменяются так, что от первого из указанных расположений сепаратрис мы переходим ко второму, не проходя при этом через кратные состояния равновесия (можно показать, что это всегда возможно).

Рис. 172

Тогда можно показать, что мы непременно должны пройти через расположение, представленное на рис. 172, а, когда петля сепаратрисы охватывает оба состояния равновесия, образует большую петлю. Можно показать, что при этом существует случай, когда седловая величина отрицательна. Тогда

при разрушении большой петли появляется предельный цикл, охватывающий три состояния равновесия, и тогда мы будем иметь случай, когда существует два предельных цикла, охватывающих все три состояния равновесия (устойчивый предельный цикл не мог исчезнуть) (рис. 172, б). Приложение I. Для кривой (7) имеем:

т. е. кривая (7) имеет хотя бы один экстремум. Покажем, что только один. Для значений х, соответствующих экстремуму, получаем уравнение

или, что то же, уравнение

Абсциссу максимума кривой (7) будем обозначать через Для того чтобы доказать, что это уравнение имеет только один корень, найдем производные от его левой и правой частей. Элементарные (но несколько длинные) вычисления показывают, что производные

а производная от правой части есть

Следовательно, уравнение (13) имеет единственный корень.

Приложение II. Мы имеем для кривой следовательно, кривая имеет хотя бы один экстремум. Покажем, что только один.

Уравнение для определения корней производной как нетрудно видеть, есть

В левой части стоит убывающая функция, производная правой части

Выражение в числителе — квадратный трехчлен. Абсцисса его экстремума

т. е. находится вне интервала

Далее, нетрудно видеть, находя величину трехчлена при или что при этот трехчлен положителен. Следовательно, функция,

стоящая в правой части уравнения (14), возрастает и уравненпе (14) имеет единственный корень.

Приложение III. Характер функции дополняет сведения о поведении кривой на плоскости Именно, из характера функции следует, что сначала при возрастании х кривая а пересекает кривые семейства (3) в направлении уменьшения (от нижних к верхним) при значении х, соответствующем минимуму функции кривая а касается кривой семейства (3), а затем а начинает пересекать кривые (3) в направлении возрастания

Приложение IV. Форма кривой а на плоскости зависит от того, какая из абсцисс экстремумов: или больше, т. е. какая из абсцисс: максимума функции или точки касания этой кривой с кривыми семейства (3) — больше. Если абсцисса минимума меньше абсциссы максимума то на плоскости кривая а не имеет самопересечения, в противном случае она имеет самопересечение.