§ 5. Динамические системы на цилиндре, близкие к гамильтоновым (метод Понтрягина).

Предположим, что рассматриваемая система на цилиндре имеет вид

Мы рассмотрим случай, когда у семейства кривых

существуют области, заполненные замкнутыми кривыми, охватывающими цилиндр, и сформулируем условия, достаточные для того, чтобы у системы (А) при всех достаточно малых существовал предельный цикл, рождающийся из некоторой кривой при условии, что в точках этой кривой

Если в точках некоторой кривой

, то уравнение этой кривой, а также всех близких иривых

может быть представлено в виде

Теорема 1. Для того чтобы у системы существовал предельный цикл, рождающийся из кривой

необходимо, чтобы

и достаточно, чтобы при условии (6) выполнялось

Если то рождающийся цикл единственный и притом устойчивый, если

или

и неустойчивый, если

или

Замечание 1. Элементарными вычислениями нетрудно установить, что если

то

Во многих случаях удобнее пользоваться этим свойством и непосредственно устанавливать наличие условий

чем пользоваться приведенным выше выражением для

Замечание 2. В тех случаях, когда почему-либо удобнее использовать параметрические уравнения кривых

очевидно, нужно пользоваться теми же выражениями, что и в § 7 гл. 11 (только с другими обозначениями), т. е.