ГЛАВА 2. ВОЗМОЖНЫЙ ХАРАКТЕР ОТДЕЛЬНОЙ ТРАЕКТОРИИ. ТЕОРИЯ ПУАНКАРЕ — БЕНДИКСОНА. ОСОБЫЕ ТРАЕКТОРИИ

Введение. В настоящей главе приведены те определения и предложения, на основании которых устанавливаются свойства траекторий системы

и свойства разбиения на траектории, являющиеся основными в вопросах качественного исследования. На основании этих предложений:

1) сформулировано, каков возможный характер отдельной траектории системы (А);

2) выделены некоторые особые траектории, знание взаимного расположения которых необходимо для определения качественной структуры разбиения на траектории;

3) дано понятие схемы динамической системы.

Все предложения настоящей главы, позволяющие сделать весьма далеко идущие заключения относительно возможных свойств разбиения на траектории, заданного системой (А), фактически являются следствием двух основных общих теорем — теоремы о существовании и единственности решения и теоремы о непрерывной зависимости от начальных значений, но при этом существенно опираются на тот основной элементарный факт, что простая замкнутая кривая делит плоскость на две области.

Во всех этих предложениях в качестве вспомогательного средства используется дуга без контакта и цикл без контакта.

§ 1. Дуга без контакта.

Пусть I — простая гладкая дуга, целиком лежащая в области в которой определена система (А).

Если траектория системы (А), проходящая через точку дуги I, в этой точке не касается дуги I, то мы будем говорить, что дуга I в точке не имеет контакта с траекториями системы (А). Если же проходящая через точку траектория касается дуги, то мы будем говорить, что дуга I в точке имеет контакт с траекторией системы (А). Простая гладкая дуга называется дугой без контакта для траекторий системы (А), если:

а) на I не лежит ни одно состояние равновесия;

б) ни в одной своей точке дуга I не имеет контакта с траекториями (рис. 18).

Рис. 18

Мы скажем, что дуга I проведена через точку (или в точке если точка является точкой дуги без контакта I, отличной от концов этой дуги. Очевидно, через каждую неособую точку можно провести дугу без контакта (например, достаточно малый отрезок нормали к траектории будет отрезком без контакта — дугой без контакта).

Пусть параметрическое уравнение дуги без контакта I есть где непрерывные функции, определенные всех значениях

и в силу требования гладкости дуги имеющие при этих значениях непрерывные производные

В силу условия а) при всех

В силу условия б) при всех

В случае, когда дуга I задана не параметрическими уравнениями, а уравнением

мы будем, очевидно, иметь в силу условия а) при всех значениях х, у, удовлетворяющих уравнению (2),

и в силу условия б) при тех же значениях х и у

Так как угол между дугой без контакта I и любой пересекающей ее траекторией не обращается в нуль, то, очевидно, этот угол сохраняет постоянный знак.

Если данную гладкую дугу I пересекает другая гладкая дуга в точке отличной от концов I (касательные к дугам в точке различны), то точка делит дугу на две части, из которых одна лежит по одну сторону I, а другая по другую сторону 1.

Приведем два элементарных предложения, касающихся пересечения траектории с дугой без контакта:

Рис. 19

I. Если произвольные числа из интервала на котором определено соответствующее траектории решение, то часть траектории соответствующая значениям из сегмента может иметь лишь конечное число общих точек с любым отрезком без контакта.

II. Если очка дуги I, отличная от ее концов, то всякая траектория, при проходящая через точку в достаточно малой окрестности точки непременно пересекает дугу I и при этом при значении сколь угодно близком к (если точка достаточно близка к Если траектория пересекает какую-нибудь дугу I без контакта дважды, она, очевидно, может пересечь ее только так, как показано на рис. 21 (и невозможен случай, представленный на рис. 19).