§ 4. Симметричный полет самолета в вертикальной плоскости (задача Н. Е. Жуковского).

Будем рассматривать систему [148, 42, 45]

для значений параметров

В цилиндрическом фазовом пространстве (на полосе с отождествленными краями) состояния равновесия будут

где

и знак плюс перед корнем соответствует точке .

В пространстве параметров на кривой сливаются точки и а на прямой точки Выше кривой система (1) имеет два состояния равновесия: седло и неустойчивый узел. Ниже кривой — четыре особых точки: узел или фокус, седло.

Слияние особых точек — простейшая бифуркация системы (1). Другие возможные бифуркации связаны со сменой устойчивости состояния равновесия , с бифуркациями сепаратрис (сепаратрисы, идущие из седла в седло) и появлением предельных циклов из бесконечности, из петли сепаратрисы, из сгущения траекторий и из сепаратрисы особой точки седло-узел. Все эти бифуркации могут быть прослежены для системы (1).

1. Состояние равновесия будет иметь чисто мнимые корни характеристического уравнения для точек кривой где вместо должны быть подставлены координаты точки . Кривая представляется уравнением

Она начинается в точке и заканчивается на кривой которой она касается в точке При переходе через кривую в направлении возрастания фокус из неустойчивого становится устойчивым, и из него появляется неустойчивый предельный цикл. Первая ляпуновская величина для точек кривой имеет значение

Рис. 167

2. Проследим за изменением качественной структуры и бифуркациями при движении точки в пространстве параметров вдоль кривой Точкам на этой кривой соответствует сложная особая точка, возникшая в результате слияния и Это будет особая точка типа седло-узел для всех точек кривой, за исключением двух: точки для которой в фазовом пространстве сливаются три особые точки, и точки В (рис. 167) - вырожденного седло-узла. Качественная картина разбиения фазового пространства на траектории будет определяться наличием или отсутствием предельных циклов, охватывающих фазовый цилиндр, и расположением сепаратрис, ограничивающих узловую область особой точки седло-узел. На рис. 168

изображены структуры, осуществляющиеся вдоль кривой при возрастании параметра

Для точки пространства параметров (см. рис. 167) картина разбиения фазового цилиндра на траектории представлена на рис. 168,7 (см. пример 1 § 3 гл. 14). Предельных циклов нет (это вытекает из расположения контактной кривой рассматриваемой системы и консервативной системы (см. гл. 6, § 5). Есть только две особые точки: седло и сложная особая точка На куске кривой будет осуществляться структура разбиения, представленная на рис. 168,77. При переходе от точки А к точкам куска осуществляются две бифуркации: 1) от сложной особой точки отделяется особая точка типа седло-узла с неустойчивой узловой областью, так как на куске будет из бесконечности появляется устойчивый предельный цикл, так как в уравнении появляется член — и бесконечность становится неустойчивой. В точке В происходит бифуркация: точка становится вырожденной, и исчезает узловая область. Внешним признаком этого служит обращение в нуль величины При переходе через точку В вдоль кривой в направлении возрастающих особая точка седло-узел с неустойчивой узловой областью превращается в седло-узел с устойчивой узловой областью, так как величина меняет знак и становится отрицательной. Качественная структура фазового пространства, представленная на рис. 168, 777, будет существовать на некотором куске кривой, примыкающем к точке В справа.

Для прослеживания дальнейших бифуркаций вдоль кривой существенным является выяснение качественной структуры разбиения на траектории при больших и Можно показать, что для больших и X качественная структура будет такая, как на рис. со-сепаратриса седло-увла имеет всюду отрицательный наклон. Предельных циклов нет (см. приложение I). На рис. 168 представлены качественные структуры, последовательно переходящие одна в другую при возрастании параметров вдоль рассматриваемой кривой. Сепаратриса седло-узла при этом проходит через негрубые расположения, представленные на рис. 168. На рис. -сепаратриса седло-узла идет в седло На рис. 168, IV—V совпадают и -сепаратрисы седло-узла, образуя замкнутый контур, охватывающий цилиндр. При возникновении петли к ней стягивается устойчивый предельный цикл (так как для седло-узла на куске кривой справа от точки В будет (см. гл. 10)).

3. Проследим за сменой качественных структур и бифуркациями при возрастании вдоль прямой, соответствующей некоторому фиксированному значению X из интервала (прямая располагается ниже точки В). Последовательность структур

(кликните для просмотра скана)

при возрастании представлена на рис. 169. Для картина разбиения фазового пространства на траектории представлена на рис. 169,1.

1) Предельных циклов нет, есть только две особые точки: седло, неустойчивый узел. При достаточно малом изменении число и характер особых точек не изменяются, но структура фазового пространства в целом изменится. В уравнении появится член — и бесконечность станет неустойчивой. Из бесконечности появится устойчивый предельный цикл. Эта структура изображена на рис. 169, 2.

2) При возрастании параметра точка в пространстве параметров попадает на кривую и из сгущения траекторий возникает сложная особая точка седло-узел с неустойчивой узловой областью, изображенная на рис. 169, 2—5. При дальнейшем возрастании сложная особая точка распадается на две простые: седло и неустойчивый узел (рис. 169,5).

Следующая бифуркация прослеживается при переходе точки через кривую при этом из состояния равновесия при возрастании появляется неустойчивый предельный цикл. Бифуркационному значению параметра соответствует разбиение на траектории, представленное на рис. (с особой точкой — сложным фокусом), а значениям справа от кривой (не слишком далеко от кривой)-картина, изображенная на Вокруг устойчивого фокуса появился предельный цикл.

Дальнейшие бифуркации при возрастании будут бифуркациями сепаратрис. Проследим эти бифуркации.

На прямой расположенной на полосе между точками и (на этой прямой сливаются точки если отметим выше изоклины вертикальных наклонов точки пересечения прямой с тремя сепаратрисами седла и -сепаратрисой седла Если параметр взят достаточно близко к кривой то в порядке возрастания координаты точки будут расположены в следующем порядке: на -сепаратрисе седла, на -сепаратрисе седла, выходящей из седла влево, на -сепаратрисе седла на -сепаратрисе седла, выходящей из седла вправо. При возрастании параметра состояния равновесия 0з и монотонно расходятся по неподвижной изоклине вертикальных наклонов:

а векторное поле по обе стороны изоклины поворачивается в противоположных направлениях: сверху — по часовой стрелке, снизу — против. Точки лежат на сепаратрисах, не пересекающих изоклину вертикальных наклонов, и поэтому на прямой

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

с возрастанием точка будет монотонно подниматься, а точки монотонно опускаться.

Единственно возможная последовательность бифуркаций при возрастании такая, при которой слияние точек предшествует слиянию Очевидно также, что если последняя из перечисленных бифуркаций осуществляется, то осуществляются и остальные. Осуществимость последней бифуркации следует из того, что при достаточно больших (когда максимум изоклины горизонтальных наклонов, равный будет меньше максимума изоклины вертикальных наклонов, равного единице) -сепаратриса седла будет иметь всюду отрицательный наклон, и, следовательно, точка будет лежать заведомо выше точки Очевидно, что в этом случае и предельные циклы, охватывающие фазовый цилиндр, не могут существовать. Осуществляется структура разбиения фазового цилиндра на траектории, представленная на рис. 169,8. Слиянию точек соответствуют расположения сепаратрис, представленные на рис. 169, 5—6 и 169, 6—7. Поведение сепаратрис с точностью до четного числа предельных циклов определяет здесь качественную структуру. Значения параметра соответствующие разбиениям рис. и рис. будут бифуркационными. При изменении от этих бифуркационных значений в направлении возрастания или убывания векторное поле на сепаратрисах поворачивается соответственно по или против часовой стрелки, и сепаратрисы, идущие из седла в седло, разрушаются. Соответствующие грубые структуры изображены на рис.

Заметим, что хотя расположение сепаратрис на рис. 169, 7 и определяет качественную структуру лишь с точностью до четного числа предельных циклов, можно утверждать, что здесь одновременно должны существовать и устойчивый, и неустойчивый предельные циклы, охватывающие цилиндр. Неустойчивый предельный цикл появляется из петли сепаратрисы, охватывающей цилиндр, так как седловая величина положительна, и при разрушении петли к ней может стянуться или из нее появиться только неустойчивый предельный цикл (кривая представляется уравнением она целиком расположена в полосе т. е. вне рассматриваемого интервала изменения А).

При дальнейшем увеличении параметра векторное поле на каждом из предельных циклов поворачивается по часовой стрелке; при этом устойчивый предельный цикл опускается, неустойчивый — поднимается. При любом фиксированном А в рассматриваемом интервале существует единственное бифуркационное значение при котором устойчивый и неустойчивый предельные циклы сливаются, образуя двойной полуустойчивый цикл. Это — последняя бифуркация, возможная при возрастапии параметра

При дальнейшем возрастании векторное поле на двойном цикле поворачивается по часовой стрелке и двойной предельный цикл исчезает. Негрубая структура разбиения на траектории, соответствующая значению изображена на рис. 169, 7—8. Для всех осуществляется разбиение на траектории, представленное на рис. 169, 8.

4. Таким же образом прослеживаются бифуркации в зависимости от при любых фиксированных Чпсло возможных бифуркаций здесь уменьшается, но появляются две новые.

1) При убывании от значений, соответствующих разбиению, представленному на рис. 168, V (для участка граничной кривой выше точки на рис. 167), исчезает особая точка седло-узел и из -сепаратрисы седло-узла появляется устойчивый предельный цикл (при обратном изменении устойчивый предельный цикл превращается в -сепаратрису седло-узла).

2) Так как кривая располагается выше прямой образование петли сепаратрисы для некоторых значений А может осуществиться при то для этих значений А переход от разбиения типа 169,6 к типу 169,5 при возрастании будет происходить путем стягивания устойчивого предельного цикла к петле сепаратрисы, охватывающей цилиндр. При этом возникает новая негрубая структура, разделяющая структуры 169,6 и 169,8, представленная на рис. 169,6-8. Для структуры 169, 6—8, как для структуры 169, 6—7, и а- и -сепаратрисы седла образуют петлю, охватывающую цилиндр, но нет устойчивого предельного цикла.

В области при любых А будут осуществляться структуры В области структура 8 рис. 169. Смена структур будет происходить при изменении в интервале между кривой прямой

Множество точек, соответствующее негрубым бифуркационным картинам 4—5, 5-6, 6-7 и 6-8 на рис. 169, образует негрубые кривые в плоскости (см. рис. 167). Эти кривые имеют положительный наклон. Последнее следует из того, что при возрастании параметров и А в отдельности векторное поле на сепаратрисах, идущих из седла в седло и не пересекающих контактную кривую (изоклипу вертикальных наклонов), поворачивается в противоположных направлениях. Только одновременном возрастании или убывании и к поворот векторного поля вдоль сепаратрис, идущих из седла в седло, может быть не монотонным и не разрушающим сепаратрисы.

Бифуркационные кривые начинаются и заканчиваются на линиях

Кривая не выходит из полосы и заканчивается в точке В. Сепаратрису сложной особой точки на рис. 168, II—III можно рассматривать как вырождение сепаратрисы точки на рис. при предельном переходе, сохраняющем при сближении точек петлю сепаратрисы. Кривая заканчивается в точке С (см. рис. 167). В точке С, как и на кривой сепаратриса седла идет в седло (см. рис. 168, III—IV, 169, 5—6). Ни для одной точки любой прямой проходящей выше точки С, это уже невозможно.

Кривая начинается на прямой и заканчивается на кривой Дальше она превращается в кривую заканчивающуюся в точке кривой В точке как и на кривых и -сепаратрисы седла О образуют петлю. Ни для одной точки любой прямой проходящей выше точки это невозможно.

Кривые на прямой пересекаются в одной точке В этой точке осуществляется структура разбиения на траектории высокой степени негрубости, представленная на рис. 169, —5—6—7. Точка -сложная особая точка. Только от структуры 4—5—6—7 с петлей сепаратрисы можно сколь угодно малым изменением параметров перейти к негрубым структурам 4—5, 5—6 или 6—7, но, так как изменение разрушает петлю, на прямой может существовать лишь единственная точка со структурой, содержащей петлю сепаратрисы, — точка пересечения кривых

Множество точек, соответствующих бифуркационной картине с двойным полуустойчивым предельным циклом, на рис. 167 образует непрерывную кривую с положительным наклоном. Кривая начинается на прямой и заканчивается в точке пересечения кривых служащих продолжением одна другой, с кривой (точка на рис. 167).

На рис. 167 представлена (без соблюдения масштаба) схема расположения бифуркационных кривых в плоскости для рассматриваемого случая

Для качественных картин в различных областях на рис. 167 остается неустраненной логическая возможность того, что число предельных циклов в действительности окажется большим на четное число циклов. Используя конкретные особенности уравнения (1), для некоторых кусков плоскости параметров возможно устранить эту неопределенность.

а) Если то система (1) имеет единственный предельный цикл, охватывающий цилиндр.

Введем в правые части системы (1) множитель (этим лишь вводится вместо другой параметр, другое «время»).

Характеристический показатель предельного цикла, охватывающего цилиндр (если один или несколько таких циклов существуют), можно представить в виде

Легко проверить, что при следовательно, характеристический показатель с возрастанием может изменить знак не более одного раза. Так как в рассматриваемой области число предельных циклов может быть только нечетным, то, следовательно, цикл один.

б) Если то система (1) не имеет предельных циклов, охватывающих состояние равновесия.

Если прямая на которой обращается в нуль выражение

проходит ниже седла (и ниже левой -сепаратрисы седла ограничивающей снизу область возможного расположения предельного цикла, охватывающего точку то в силу критерия Дюлака предельный цикл вокруг точки не может существовать. Условие в раскрытом виде дает первые два из написанных выше неравенств. Последнее неравенство есть условие существования точек

в) Если то система (1) не имеет предельных циклов, охватывающих состояние равновесия и не может иметь более одного цикла, охватывающего цилиндр.

Если прямая проходит ниже минимума изоклины горизонтальных наклонов, то из критерия Дюлака следует не только отсутствие предельных циклов, охватывающих состояние равновесия лежит ниже точки но также и единственность предельного цикла, охватывающего цилиндр, так как в этом случае этот цикл не может пересекать прямую Условие эквивалентно условию

Приложение I. По направлению

входит в особую точку -сепаратриса седло-узла. Касательная к ней в особой точке будет иметь уравнение

Касательная пересекает ось в точке с ординатой

Если -сепаратриса седло-узла попадает в область выше максимума изоклины горизонтальных наклонов то, очевидно, предельные циклы, охватывающие цилиндр, не могут существовать. Это заведомо осуществляется для значений параметров, при которых выполняется неравенство и для которых -сепаратриса на интервале лежит выше касательной. При будет следовательно, указанное неравенство выполняется для достаточно больших

Покажем, что -сепаратриса для достаточно больших X лежит выше касательной. Рассмотрим точки пересечения изоклины направления и касательной. Исключая и заменяя и их значениями, приходим к уравнению

Левая и правая частп этого уравнения, рассматриваемые как функции в точке обращаются в нуль и имеют совпадающие первые производные. Разность значений вторых производных сохраняет знак при достаточно больших X на всем интервале т. е. изоклина и касательная не пересекаются. Изоклина лежит ниже касательной (величина корень уравнения, определяющего ординату точки пересечения изоклины с осью стремится к единице при то, и, следовательно, при больших X будет

Так как -сепаратрпса вблизи точкп при больших X лежит выше касательной (это будет показано), а изоклина направления ниже касательной и так как изоклина и касательная на интервале не пересекаются, то, оченидно, -сепаратриса также не может пересекаться с касательной располагается выше касательной на всем интервале

Указапное расположение сепаратрисы и касательной вблизи точки следует из того, что

и, следовательно, при больших X на -сепаратрисе вблизи точки