§ 4. Нормальные формы.

В последнее, время широкое распространение получило рассмотрение так называемых «нормальных форм» дифференциального уравнения в окрестности особой точки (состояния равновесия). «Нормальная форма» - это максимально простой вид дифференциального уравнения в окрестности особой точки после надлежащим образом подобранной замены переменных, в котором: во-первых, важные для характеристики особой точки величины оказываются выписанными в явном виде (например, ляпуновские величины) и, во-вторых, в некоторых случаях уравнение в окрестности особой точки приводится к интегрируемому виду. Если существует преобразование переменных, при котором система делается линейной, то ее нормальная форма — линейная. Дюлаком были рассмотрены те нормальные формы, к которым могут быть приведены дифференциальные уравнения (с аналитическими правыми частями) в окрестности седла.

В зависимости от того, является ли модуль отношения характеристических чисел седла е. рациональным или иррациональным, эти формы различны. Именно, Дюлак показал, что когда К иррационально, аналитической заменой переменных можно привести дифференциальное уравнение к виду

где — любые целые числа. Однако привести такое уравнение, несмотря на то, что к могут быть сколь угодно большими, к линейному виду может оказаться невозможным, так как преобразование, приводящее к линейному виду, окажется расходящимся рядом.

Когда К рационально Дюлак приводит уравнение к виду

где величины, имеющие тесные связи с ляпуновскими величинами.

В настоящее время рассматривается приведение к нормальной форме не обязательно аналитических систем и аналитическими преобразованиями, а вообще гладких до некоторого порядка систем гладкими же преобразованиями. При этом каноническая форма Дюлака в случае рационального К существенно упрощается.

Отметим, что нормальной формой в случае одного нулевого корня (см. § 3 гл. 4) является

(но с может обращаться в нуль).

В настоящей книге нормальные формы в явном виде не используются.