§ 3. Состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями.

Состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями, как было указано в § 5 гл. 3, может быть изучено после перехода к полярной системе координат путем рассмотрения функции последования построенной, например, на оси Рассмотрение такой функции последования для систем, близких к данной, т. е. построение функции последования

для надлежащим образом выбранной системы близкой к данной, позволяет установить следующее предложение.

Теорема 4 (о рождении предельного цикла из сложного фокуса). Если состояние равновесия О системы с чисто мнимыми характеристическими корнями является сложным фокусом кратности то при любых и О всегда существует такая -близкая к системе (А) система которой в -окрестности состояния равновесия О существует по крайней мере один предельный цикл.

Естественно говорить, что предельный цикл системы лежащий в указанной -окрестности состояния равновесия О, «рождается из сложного фокуса» (см. также гл. 10, 11 и 13).

Теорема 5. Если состояние равновесия О системы является центром, то при любом существует измененная система -близкая к которой состояние равновесия О является фокусом.

Доказательство утверждений теорем 4 и 5 элементарным образом может быть получено путем рассмотрения измененной системы, у которой действительные части характеристических корней не равны нулю, с привлечением функции аналогичной (см. § 5 гл. 3), построенной для такой измененной системы, и использованием выражения для первого не равного нулю из коэффициентов в разложении функции

Следующая теорема, дающая второе необходимое условие грубости системы, непосредственно вытекает из предыдущей теоремы.

Теорема 6. Если система является грубой в то в не может быть состояния равновесия, для которого