ГЛАВА 6. НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

§ 1. Некоторые признаки существования и отсутствия предельных циклов.

В настоящей главе мы приводим некоторые классические приемы качественного исследования системы

Если удается исследовать состояния равновесия (что далеко не всегда является элементарной задачей, как мы увидим на ряде примеров), то далее для полного качественного исследования необходимо установить наличие или отсутствие предельных циклов и расположение сепаратрис. Как уже отмечалось, эта задача принципиально более сложная, чем установление характера состояний равновесия.

Мы приведем в настоящей главе приемы, позволяющие в некоторых частных случаях давать ответ на вопрос о существовании или отсутствии замкнутых траекторий (предельных циклов).

Напомним, что гладким циклом однократного пересечения называется простая гладкая замкнутая кривая С, обладающая следующими свойствами (см. § 2 гл. 2):

1) на кривой С не лежит ни одного состояния равновесия;

2) во всех точках кривой С, кроме, быть может, конечного Числа, траектории не имеют с ней касания и либо все входят внутрь области, ограниченной кривой С, либо все выходят из этой области.

Приведем простейшие признаки существования предельных циклов, основанные на рассмотрении циклов однократного пересечения.

Теорема 1. Пусть С — цикл однократного пересечения, ограниченная им область, принадлежащая области определения системы (А). Если выполняются следующие условия: 1) все траектории, пересекающие С, при возрастании входят в в области имеется единственное состояние равновесия О, являющееся неустойчивым узлом или фокусом; 3) в области имеется лишь конечное число замкнутых траекторий системы, тогда число расположенных в устойчивых предельных циклов системы на единицу больше числа неустойчивых. (Следовательно, существует по крайней мере один устойчивый предельный цикл.)

Приведем еще аналогичную теорему для кольцевой области.

Теорема 2. Пусть двусвязная область, ограниченная двумя циклами без контакта (циклами однократного пересечения) не содержащая состояний равновесия и имеющая конечное число замкнутых траекторий. Если все траектории, пересекающие при возрастании входят в (выходят из то число устойчивых предельных циклов, расположенных в на единицу больше (меньше) числа неустойчивых предельных циклов.