Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости

Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. 2-е изд., доп. — М.: Наука, 1990. — 486 с.

Содержит справочный материал по теории динамических систем и качественное исследование большого количества динамических систем из приложений. Цель книги - показать эффективность методов и приемов качественного исследования динамических систем и одновременно естественность использования этой теории при рассмотрении математических моделей реальных систем.

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
ЧАСТЬ I. АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА С АНАЛИТИЧЕСКИМИ ПРАВЫМИ ЧАСТЯМИ
§ 1. Автономная динамическая система на плоскости.
§ 2. Теорема существования и единственности решения.
§ 3. Простейшие свойства решений системы (А).
§ 4. Геометрическая интерпретация системы (А) на фазовой плоскости (х, у).
§ 5. Сопоставление геометрической интерпретации системы (А) в пространстве (x, y, t) с интерпретацией на фазовой плоскости.
§ 6. Некоторые термины.
§ 7. Теорема о непрерывной зависимости решения от начальных условий.
§ 8. Направление на траекториях. Изменение параметризации.
§ 9. Дифференциальное уравнение, соответствующее динамической системе.
§ 10. Понятие интегральной кривой и интеграла в случае аналитических правых частей Р(х,у) и Q(x,y) системы (А).
§ 11. Что значит «найти решение динамической системы»?
§ 12. Примеры.
§ 13. Замечания по поводу примеров § 12.
§ 14. Математическое определение качественной (топологической) структуры разбиения на траектории и качественного исследования динамической системы.
ГЛАВА 2. ВОЗМОЖНЫЙ ХАРАКТЕР ОТДЕЛЬНОЙ ТРАЕКТОРИИ. ТЕОРИЯ ПУАНКАРЕ — БЕНДИКСОНА. ОСОБЫЕ ТРАЕКТОРИИ
§ 2. Цикл без контакта.
§ 3. Предельная точка полутраектории и траектории. Предельная траектория.
§ 4. Основная теорема.
§ 5. Возможные типы полутраекторий и их предельных множеств.
§ 6. Особые и неособые полутраектории и траектории.
§ 7. Возможные типы особых и неособых траекторий.
§ 8. Случай конечного числа особых траекторий. Элементарные ячейки.
§ 9. Возможные типы ячеек. Односвязные и двусвязные ячейки.
§ 10. Два подхода к описанию качественной структуры.
§ 11. Качественная (топологическая) структура состояния равновесия в случае конечного числа особых траекторий. Схема динамической системы.
§ 12. Устойчивость по Ляпунову.
ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ КАЧЕСТВЕННОЙ СТРУКТУРЫ ОКРЕСТНОСТИ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ (ОСОБОЙ ТОЧКИ)
§ 2. Приведение динамической системы к каноническому виду.
§ 3. Возможный характер простых состояний равновесия.
§ 4. Замечания о методах установления характера грубых состояний равновесия.
§ 5. Состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями.
§ 6. Направления, в которых траектории стремятся к простым состояниям равновесия.
§ 7. Угловой коэффициент направления, в котором траектория может стремиться к простому состоянию равновесия.
§ 8. Сводка сведений о грубых состояниях равновесия.
ГЛАВА 4. КАЧЕСТВЕННАЯ СТРУКТУРА ОКРЕСТНОСТЕЙ НЕКОТОРЫХ СЛОЖНЫХ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ
§ 1. Направления, в которых траектории стремятся к сложному состоянию равновесия.
§ 2. Сложное состояние равновесия (особая точка) с нулевыми характеристическими корнями.
§ 3. Примеры.
§ 4. Нормальные формы.
ГЛАВА 5. ФУНКЦИЯ ПОСЛЕДОВАНИЯ. ПРОСТЫЕ И СЛОЖНЫЕ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ
§ 2. Условия устойчивости и неустойчивости неподвижной точки точечного отображения.
§ 3. Функция соответствия.
§ 4. Изучение окрестности замкнутой траектории. Простые и сложные предельные циклы.
§ 5. Аналитические выражения для коэффициентов функции последования. Характеристический показатель замкнутой траектории.
ГЛАВА 6. НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
§ 2. Изучение поведения интегральных кривых в бесконечности. Сфера Пуанкаре.
§ 3. Примеры исследования в бесконечности [93].
§ 4. Критерии Бендиксона и Дюлака отсутствия предельных циклов.
1. Некоторые видоизменения критериев Бендиксона и Дюлака.
2. Индексы Пуанкаре. Распределение особых точек [77, 117].
3. Условия сосуществования замкнутых траекторий и особых точек.
4. Две общие теоремы Пуанкаре.
§ 5. Топографическая система Пуанкаре. Функция Ляпунова. Кривые контактов.
ЧАСТЬ II. ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИЙ
§ 1. Свойства консервативных систем на плоскости [2, 3].
§ 2. Динамические системы, характерные для теории колебаний.
§ 3. Измененные системы. Системы, правые части которых зависят от параметра.
§ 4. Основные теоремы о зависимости решения от изменения правых частей динамической системы.
§ 5. Грубость динамической системы и теоремы о непрерывной зависимости решения от изменения правых частей.
ГЛАВА 8. ГРУБЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
§ 2. Состояния равновесия, возможные в грубой динамической системе.
§ 3. Состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями.
§ 4. Замкнутые траектории, возможные в грубой системе.
§ 5. Поведение сепаратрис седел в грубых системах.
§ 6. Необходимые условия грубости. Достаточность этих условий для грубости системы.
§ 7. Пространство динамических систем. Всюду плотность грубых (двумерных) динамических систем.
§ 8. Понятие грубости при более общих предположениях относительно правых частей динамической системы.
§ 9. Типы особых траекторий и ячеек в грубых системах.
§ 10. Замечания по поводу определения грубой системы.
ГЛАВА 9. ПРОСТЕЙШИЕ НЕГРУБЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ — СИСТЕМЫ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ НЕГРУБОСТИ
§ 2. Системы первой степени негрубости.
§ 3. Состояния равновесия, возможные в системе первой степени негрубости.
§ 4. Замкнутые траектории, возможные в системе первой степени негрубости.
§ 5. Условия на сепаратрисы седел и седло-узлов в системе первой степени негрубости.
§ 6. Необходимые и достаточные условия первой степени негрубости.
§ 7. Динамические системы более высокой степени негрубости.
ГЛАВА 10. БИФУРКАЦИИ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ ПРАВЫХ ЧАСТЕЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
§ 1. Определение бифуркации.
§ 2. Бифуркации систем первой степени негрубости.
§ 3. Бифуркации некоторых типов сложных особых точек.
§ 4. Бифуркации двукратной точки, для которой …
§ 5. Рождение предельных циклов из особых траекторий степени негрубости выше первой.
ГЛАВА 11. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ, ПРАВЫЕ ЧАСТИ КОТОРЫХ СОДЕРЖАТ ПАРАМЕТРЫ
§ 1. Возможный характер зависимости правых частей динамической системы от параметров.
§ 2. Смена качественных структур при изменении параметров.
§ 3. Случай, когда правые части зависят более чем от одного параметра.
§ 4. Бифуркации «от бесконечности».
§ 5. Условия существования седло-узла и сложного фокуса первого порядка.
§ 6. Поворот векторного поля.
§ 7. Метод малого параметра. Метод Понтрягина.
ГЛАВА 12. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФАЗОВОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ
§ 1. Цилиндрическая фазовая поверхность и характер траекторий, возможных на цилиндрической фазовой поверхности.
§ 2. Замкнутые траектории, охватывающие цилиндр.
§ 3. Приемы исследования качественной структуры динамической системы на цилиндре.
§ 4. Понятие грубости и степени негрубости для динамических систем на цилиндре. Бифуркации на цилиндре. Поворот поля.
§ 5. Динамические системы на цилиндре, близкие к гамильтоновым (метод Понтрягина).
ГЛАВА 13. АДЕКВАТНОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ ФАКТАМИ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ И ТЕОРИИ БИФУРКАЦИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
§ 1. Мягкий и жесткий режимы.
§ 2. Замечания о границах области устойчивости различных стационарных режимов.
§ 3. Мягкое и жесткое возникновение колебаний.
§ 4. «Безопасные» и «опасные» границы области устойчивости состояний равновесия.
§ 5. Замечания по поводу других границ области устойчивости.
ЧАСТЬ III. КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КОНКРЕТНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С АНАЛИТИЧЕСКИМИ ПРАВЫМИ ЧАСТЯМИ
ГЛАВА 14. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О ПРИЕМАХ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
§ 1. Некоторые рецептурные указания.
§ 2. Некоторые простые примеры качественного исследования динамических систем на плоскости.
§ 3. Некоторые простые примеры динамических систем на цилиндре.
ГЛАВА 15. ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОМ МАЛОГО ПАРАМЕТРА (МЕТОДОМ ПОНТРЯГИНА)
§ 2. Примеры рассмотрения методом Понтрягина (полное исследование).
§ 3. Исследование методом Понтрягина с привлечением вычислительных методов.
ГЛАВА 16. КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРИЕМОВ, ОПИРАЮЩИХСЯ НА ТЕОРИЮ БИФУРКАЦИЙ
§ 2. Электрическая цепь с туннельным диодом.
§ 3. Двумерная модель динамики твердотельного лазера [119].
§ 4. Симметричный полет самолета в вертикальной плоскости (задача Н. Е. Жуковского).
§ 5. Система, описывающая динамику проточного химического реактора.
§ 6. Фазовая автоподстройка частоты.
§ 7. Частотно-фазовая автоподстройка частоты (случай существования трех предельных циклов).
§ 8. Синхронный генератор с асинхронной характеристикой.
ЧАСТЬ IV. КУСОЧНО-СШИТЫЕ СИСТЕМЫ
ГЛАВА 17 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О КУСОЧНО-СШИТЫХ СИСТЕМАХ
§ 1. Сшитые системы. Доопределение на линиях сшивания.
§ 2. Возможные типы полутраекторий сшитых систем.
§ 3. Особые траектории сшитых систем.
§ 4. Бифуркации в сшитых системах. Метод Понтрягина для сшитых систем.
ГЛАВА 18. ИССЛЕДОВАНИЕ КУСОЧНО-СШИТЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПОНТРЯГИНА
§ 2. Автоподстройка при кусочно-постоянной аппроксимации характеристики.
§ 3. Автоколебания синхронного мотора.
ГЛАВА 19. КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СШИТЫХ СИСТЕМ МЕТОДАМИ ТЕОРИИ БИФУРКАЦИИ
§ 2. Следящая система с люфтом.
§ 3. Электрическая цепь с туннельным диодом.
§ 4. Система со скачками на линии сшивания.
ГЛАВА 20. ОБ АППРОКСИМАЦИЯХ И ГРУБОСТИ ПРОСТРАНСТВА ПАРАМЕТРОВ [39, 41, 42]
§ 1. Рассмотрение системы (2) при аппроксимациях пилообразными функциями.
§ 2. Рассмотрение системы (2) при аппроксимации, включающей отрезок параболы.
§ 3. Рассмотрение системы (2) при аппроксимациях кусочно-постоянной для sin f, и пилообразной для cos f функциями.
§ 4. Исследование роли аппроксимаций для уравнения маятникового типа.
§ 5. Динамическая система, описывающая автоколебания синхронного мотора.
§ 6. Динамическая система, описывающая симметричный полет самолета.
ДОПОЛНЕНИЕ
§ 1. Динамическое системы на двумерных поверхностях.
§ 2. Динамические системы в n-мерном евклидовом пространстве.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости

Оглавление