§ 4. «Безопасные» и «опасные» границы области устойчивости состояний равновесия.

Вопрос об устойчивости состояний равновесия (равновесных режимов) возникает при решении многих прикладных задач (из области автоматического регулирования, гироскопической стабилизации, радиотехники, электротехники и т. д.).

Естественно предполагать (см. гл. 8, § 1), что в прикладных задачах соответствующая система дифференциальных уравнений (в частности ее состояния равновесия) грубая и что, следовательно, при анализе устойчивости можно ограничиться тем случаем, когда этот вопрос может быть решен путем отбрасывания всех нелинейных членов и исследования характеристического уравнения (состояние равновесия устойчиво, если действительные части характеристических корней отрицательны).

Исследование вопроса о том, при каких значениях параметров, входящих в правые части динамических систем, рассматриваемое состояние равновесия устойчиво, позволяет выделить область устойчивости этого состояния равновесия в пространстве параметров. Мы будем дальше называть эту область областью Рауса — Гурвица.

Хотя основной интерес для прикладных вопросов (в которых играет роль устойчивость равновесных режимов) имеют такие системы, действительные части корней характеристических уравнений которых отрицательны, т. е. системы со значениями параметров внутри области Рауса — Гурвица, тем не менее для ряда прикладных вопросов представляет интерес выяснение поведения системы в случае, когда изображающая ее в пространстве параметров точка лежит на границе области Рауса — Гурвица или (что физически эквивалентно) достаточно близко к этой границе. Дело в том, что в прикладных вопросах приходится считаться не только с требованиями устойчивости, но и с другими требованиями, относящимися к работе устройства, и может оказаться, что одновременное удовлетворение этих условий наилучшим образом достигается выбором параметров, соответствующих точкам, лежащим в сравнительной близости к границам области Рауса — Гурвица. Таким образом, возникает вопрос о поведении динамической системы вблизи границы области Рауса — Гурвица. Действительно, выбирая значения параметров, близкие к границе этой области, мы никогда не можем быть уверены, что случайные отклонения этих параметров в реальной системе не выведут точку, представляющую систему в пространстве параметров, за границу области Рауса — Гурвица.

Поведение динамической системы при малых отклонениях от границы области Рауса — Гурвица определяет и особенности поведения систем, для которых представляющая их точка в пространстве параметров лежит в области Рауса — Гурвица, но в достаточной близости к границам этой области.

Как мы видели в предыдущем параграфе, вопрос о поведении системы в случае, когда изображающая ее точка в пространстве параметров переходит через границу области Рауса — Гурвица (именно, через границу, соответствующую системе со сложным фокусом), связан с вопросом возбуждения колебаний (мягкого и жесткого самовозбуждений, см. § 3).

Мы рассмотрим сначала те точки границы области Рауса — Гурвица, которые соответствуют негрубым состояниям равновесия первой степени негрубости — именно, сложному фокусу с

не равной нулю первой ляпуновской величиной (коэффициент в функции последования) и двукратному состоянию равновесия — седло-узлу.

В этом случае части границы области Рауса — Гурвица могут быть двоякой природы: безопасные границы — достаточно малое нарушение которых влечет за собой лишь весьма малые (сколь угодно малые при достаточно малых нарушениях) изменения состояния системы; опасные границы — сколь угодно малое нарушение которых повлечет за собой переход системы в новое состояние, которое мы не можем приблизить к исходному выбором достаточно малых нарушений границы.

Иначе говоря, может оказаться, что состояние равновесия измененной системы (сколь угодно мало измененной) будет неустойчиво, но практически система будет вести себя как устойчивая, так как изображающая точка, взятая из некоторой окрестности состояния равновесия, будет для всех (начиная с начального значения оставаться в малой окрестности состояния равновесия (сколь угодно малой при достаточно малых изменениях системы), и, наоборот, мояет оказаться, что, хотя состояние равновесия измененной системы устойчиво, но система практически будет неустойчива, так как изображающую точку, взятую вне малой окрестности состояния равновесия (сколь угодно малой при достаточно малых изменениях системы), нельзя заставить оставаться вблизи состояния равновесия.

Предположим, что рассматриваемое состояние равновесия лежит в начале координат, так что мы можем предполагать систему в виде

где k — параметр.

Рассмотрим подробно два указанных выше случая поведения системы при значениях А, близких к значению соответствующему сложному фокусу или седло-узлу первой степени негрубости (см. гл. 10).

1. При система имеет сложный фокус первого порядка, т. е. состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями, у которого первая ляпуновская величина отлична от нуля. Вводя обозначения

действительная часть характеристических корней), мы, очевидно, будем иметь в рассматриваемом случае

Далее естественно сделать предположение, что Мы получим наглядную картину поведения системы вблизи

траницы области устойчивости, рассматривая изменение качественной структуры в окрестности состояния равновесия в зависимости от изменения параметра . Как мы видели (см. гл. 11), возможны следующие случаи:

а) , сложный фокус устойчив. При переходе через границу от значений к значениям появляется единственный устойчивый предельный цикл. При обратном изменении параметра X устойчивый цикл стягивается в точку (в сложный фокус);

б) , сложный фокус неустойчив. При переходе через границу от значений к значениям к состоянию равновесия стягивается единственный неустойчивый предельный цикл; при обратном изменении параметра из состояния равновесия появляется неустойчивый предельный цикл.

Изменение качественной структуры разбиения окрестности состояния равновесия на траектории для этих двух случаев изображено на рис. 117, 118.

Рис. 117

Штриховкой показана область устойчивости, для которой траектории представляют собой спирали, накручивающиеся на состояние равновесия, или предельный цикл. Область неустойчивости заполнена раскручивающимися спиралями. Рисунки наглядно показывают различие в поведении системы вблизи границы по отношению к случайным толчкам. Сравнивая для случаи видим, что во втором случае возможно выбивание случайным толчком изображающей точки из устойчивого состояния равновесия за границы области устойчивости (внутри рассматриваемой окрестности состояния равновесия), тогда как в первом случае это

невозможно. Рисунки показывают, далее, различие в поведении системы при нарушении условий устойчивости. Переход через границу в первом случае соответствует возникновению области неустойчивости внутри устойчивого предельного цикла, которая, однако, остается сколь угодно малой при достаточно малом нарушении условий устойчивости и стягивается в точку при обратном изменении параметра; изображающая точка при этом возвращается в состояние равновесия — система ведет себя обратимо.

Рис. 118

Во втором случае переход через границу соответствует исчезновению области устойчивости внутри неустойчивого предельного цикла; изображающая точка при этом срывается с состояния равновесия и уходит за пределы рассматриваемой окрестности состояния равновесия. При обратном изменении параметра изображающая точка не возвращается в состояние равновесия — система ведет себя необратимо.

В § 3 настоящей главы при рассмотрении жесткого возникновения колебаний изображающая точка после срыва уходит на устойчивый предельный цикл, окружающий начало, в силу предположения о специальном характере разбиения плоскости на траектории. Однако при другом виде фазовой плоскости изображающая точка после срыва при может пойти либо к другому устойчивому состоянию равновесия, либо к предельному циклу, не окружающему начало. Мы вернемся к этому более сложному случаю в следующем параграфе.

II. При система имеет двукратное состояние равновесия — седло-узел, т. е. состояние равновесия, для которого

(неравенство нулю и означает, что точка двукратная).

Состояние равновесия О (см. гл. 4, 9, 10) имеет вид, представленный на рис. 119, б). Вблизи границы малая окрестность состояния равновесия О имеет вид, представленный на одном из рис. 119. Из рисунков видно, как при приближении к границе в малую окрестность устойчивого состояния равновесия вторгается область неустойчивости (на рис. 119, а, а, б заштрихованная область), попав в которую изображающая точка выбрасывается из рассматриваемой окрестности состояния равновесия.

Рис. 119

Для изображающей точки при приближении к границе возрастает опасность быть выброшенной случайным толчком из устойчивого состояния равновесия. При невырожденном вхождении параметра А, при его изменении от значений к значениям мы получаем последовательность качественных структур, изображенных на рис. 119.

Значениям соответствуют рис. 119, а и 119, а (два состояния равновесия — узел и седло), значению рис. 119, б (начало координат — седло-узел), значениям рис. 119, в (сложное состояние равновесия — седло-узел исчезает).

Рассмотренная граница области устойчивости, очевидно, является опасной.

После исчезновения седло-узла изображающая точка либо стремится к устойчивому состоянию равновесия или к устойчивому предельному циклу, близкому к тому, к которому стремилась -сепаратриса седло-узла (см. рис. 103 гл. 10), либо, в случае, когда сепаратриса седло-узла возвращается в него же, начинает двигаться (сначала с очень большим периодом) по предельному циклу, образовавшемуся из сепаратрисы седло-узла (см. рис. 104 гл. 10). Во всех этих случаях граница области устойчивости опасна.

Следует, однако, обратить внимание на то, что если при значениях изображающая точка двигается по предельному циклу, на котором при возникает двукратное состояние равновесия седло-узел, то соответствующая граница, очевидно, является безопасной (изображающая точка не выходит из окрестности цикла).

Рассмотрим еще дополнительно поведение динамических систем вблизи тех точек границы, в которых где безопасная граница переходит в опасную, т. е. где первая ляпуновская величина обращается в нуль. В этом случае поведение системы может быть определено знаком второй ляпуновской величины (см. гл. 11, § 5).

При рассмотрении этого случая мы предположим, что в систему входит не один, а два параметра (при наличии только одного параметра картина смазывается), и пусть в некоторой точке плоскости параметров но На рис. 120 большая точка соответствует точке плоскости параметров, в которой ; в точках части линии обозначенной белыми точками, (для соответствующих значений параметров система имеет неустойчивый сложный фокус первого порядра); в точках части линии обозначенной черными точками, (система имеет устойчивый сложный фокус).

В заштрихованной части плоскости параметров в незаштрихованной (но в которой может быть область, обозначенная мелкими штрихами) Напомним, что при переходе через часть границы в которой из заштрихованной области в незаштрихованную из сложного фокуса рождается устойчивый предельный цикл, а при переходе через где из незаштрихованной в заштрихованную область — неустойчивый цикл.

Пусть в точке, в которой мы имеем тогда соответствующий сложный фокус (второй степени негрубости) неустойчив (рис. 120, а, 121, а).

Если в пространстве параметров мы перейдем по линии в точки, где то, как нетрудно показать,

рассматривая функцию последования (см. гл. 8, § 3), на фазовой плоскости из сложного фокуса второго порядка родится неустойчивый предельный цикл (грубый), а фокус делается негрубым устойчивым (рис. 121, б).

Рис. 120

Если затем в пространстве параметров мы выйдем в незаштрихованную область (на рис. 120, а) область II), то из устойчивого сложного фокуса рождается устойчивый предельный цикл.

Рис. 121

При этом ранее родившийся неустойчивый цикл сохраняется, так что в области параметров II у системы на фазовой плоскости вокруг грубого неустойчивого фокуса будет существовать два предельных цикла (рис. 121, в).

С другой стороны, нетрудно показать, что при значениях параметров в области III у системы вокруг неустойчивого фокуса нет предельных циклов. (При переходе из точки, где на часть линии где циклы не рождаются, и в силу сделанных выше замечаний не рождаются при переходе в область III.) Но тогда при движении в пространстве параметров из области III в область II непременно должны встретиться бифуркационные значения параметров, при которых у системы существует двукратный цикл. На рис. 120 линия в пространстве параметров, соответствующая двукратным предельным циклам, изображена штрихами. Аналогичное рассмотрение может быть проведено и в случае (рис. 120,6 и рис. 122, а — в).

В рассмотренном случае знак второй ляпуновской величины играет роль, подобную знаку увеличивая или уменьшая опасность для изображающей точки быть выброшенной из окрестности состояния равновесия.

Рис. 122

Пусть (при и пусть значения параметров достаточно близки к значениям, определяемым этими условиями; тогда в достаточно малой окрестности начала координат в фазовом пространстве может быть одна из структур, изображенных на рис. 121.

При нарушении безопасной границы области устойчивости изображающая точка остается в малой окрестности состояния равновесия вблизи устойчивого предельного цикла, если начальные возмущения не превосходят некоторой малой величины (определяемой размерами второго, неустойчивого предельного цикла, также вторгающегося в малую окрестность начала

координат); при возмущениях, превосходящих эти пределы, изображающую точку нельзя заставить оставаться в малой окрестности состояния равновесия.

С другой стороны, выбивание системы малым толчком из устойчивого состояния равновесия возможно и вблпзи безопасной границы области устойчивости (см. рис. 121).

Пусть (при ), и пусть параметры опять мало изменены; тогда в достаточно малой окрестности начала координат может быть одна из структур, изображенных на рис. 122. Здесь даже нарушение опасной границы может оставить изображающую точку в малой окрестности состояния равновесия, если параметры достаточно близки к значениям, определяемым условиями