§ 4. Геометрическая интерпретация системы (А) на фазовой плоскости (х, у).

Основная геометрическая интерпретация системы (А) связана не с рассмотрением пространства рассмотрением плоскости (х,у), которая называется фазовой плоскостью.

В каждой точке области плоскости (область может совпадать со всей плоскостью), в которой определены правые части системы (А), рассмотрим вектор с компонентами

Автономная динамическая система (А) определяет в области векторное поле. Поэтому система (А) называется также динамической системой на плоскости.

В точках, в которых одновременно

длина вектора обращается в нуль, а направление вектора становится неопределенным. Такие точки называются особыми точками векторного поля или особыми точками системы (А).

Во всякой не особой точке векторное поле непрерывно в том смысле, что угол между векторами в любых двух достаточно близких к точке точках сколь угодно мал и длины этих векторов сколь угодно мало отличаются друг от друга. Особые точки могут быть точками разрыва векторного поля.

Пусть

- какое-нибудь решение системы (А).

Множество точек

где принимает все значения, при которых определено решение (3), называется траекторией, соответствующей данному решению, или траекторией векторного поля, заданного динамической системой (А), а также фазовой траекторией (или просто траекторией данной динамической системы).

Уравнения (3) очевидно являются параметрическими уравнениями траектории. Обратно, если дана какая-нибудь траектория, то решение, которому она соответствует, называется решением, соответствующим данной траектории.

В каждой точке траектории не являющейся особой точкой векторного поля, вектор с компонентами является касательным вектором к траектории

Пусть особая точка системы (А), так что

Тогда очевидно, что

есть решение системы (А), и, следовательно, особая точка сама является отдельной траекторией. Такая траектория называется состоянием равновесия.

Рис. 1

На траекториях, отличных от состояний равновесия, естественным образом вводится положительное направление движения, именно движение в сторону возрастания В каждой точке траектории это направление дается соответствующим касательным вектором

Приведем следующие два основных предложения.

Лемма 1. Пусть траектория соответствующая решению (3), на интервале отлична от состояния равновесия, и пусть существуют значения такие, что

Тогда решение (3) определено при всех значениях (т. е. ), функции являются периодическими функциями а соответствующая траектория — простой гладкой замкнутой кривой.

(В силу этого предложения никакая траектория не может «самопересекаться».)

Лемма 2. а) Всяким двум решениям, отличающимся только выбором начального значения соответствует одна и та же траектория. б) Всякие два различных решения, соответствующие одной и той же траектории, отличаются друг от друга только выбором начального значения

Замечание. Все решения, соответствующие данной замкнутой траектории, являются периодическими решениями с одним и тем же периодом.

На основании лемм 1 и 2 без труда устанавливается

Теорема 4. Через каждую точку области (или плоскости) проходит одна и только одна траектория.

Таким образом, задавая в области G (которая может совпадать со всей плоскостью) динамическую систему (А), мы тем самым задаем некоторое семейство траекторий, или, в другой терминологии, разбиение этой области (или плоскости) на траектории.