§ 2. Рассмотрение системы (2) при аппроксимации, включающей отрезок параболы.

Рассмотрим систему (2) при аппроксимациях

(см. верхний рис. 229 и рис. 232), отличающихся от (3) тем, что при аппроксимации совф отрезок прямой на интервале ( заменен параболой. Такое изменение делает невозможным сложную бифуркацию с совпадением изоклин на отрезке и существенно меняет общую картину возможных бифуркаций.

Рис. 232

Состояния равновесия на полосе будут сшитое седло, -сшитый неустойчивый узел, узел или фокус, седло. Здесь больший корень, уравнения

либо меньший его корень, если либо определяется по формуле, приведенной в начале § 1, если Величины находятся из уравнений соответствующих изоклин.

В пространстве параметров на кривой сливаются точки на прямой точки

и В плоскости параметров границей области существования только двух точек и будет отрезок прямой и ветвь кривой

1. Рождение предельного цикла из фокуса. Фокус меняет устойчивость на кривой

начинающейся в точке и заканчивающейся на кривой которой она касается в точке В:

При переходе через кривую в направлении возрастающих фокус из неустойчивого становится устойчивым и из него появляется неустойчивый предельный цикл (первая ляпуновская величина для точек кривой имеет значение

2. Структура разбиения фазового пространства на граничной кривой, разделяющей области двух и четырех точек. Точкам на кривой соответствует фазовое пространство с особой точкой седло-узел, возникшей от слияния точек При совпадают направления, по которым траектории могут идти в особую точку, и седло-узел становится вырожденным. При переходе через значение седло-узел с неустойчивой узловой областью переходит в седло-узел с устойчивой узловой областью Для малых сепаратриса седла накручивается на предельный цикл, охватывающий цилиндр; ш-сепаратриса седло-узла для больших имеет всюду отрицательный наклон и, следовательно, предельных циклов нет. При возрастании вдоль кривой последовательность качественных картин, переходящих одна в другую, будет такая же, как на рис. 168.

3. Разбиение пространства параметров на области с различной качественной структурой фазового пространства. Обращение в нуль седловой величины

происходит на кривой, касающейся граничной кривой в точке В и имеющей асимптоту Седловая величина отрицательна выше кривой

Отправляясь от известных структур разбиения фазового пространства на граничной кривой, можно проследить смену качественных структур при возрастании повторяя почти дословно

рассуждения, проведенные в гл. 16, § 4, так как при изменении осуществляется монотонный поворот поля направлений, а принятая аппроксимация (4) не изменяет существенно поведения величин определяющих характер возможных бифуркаций в окрестности фокуса и петли сепаратрисы. Для аппроксимирующей системы, как и для исходной системы (2), при предельных циклов нет и все бифуркации осуществляются на отрезке между граничной кривой и прямой Характер разбиений пространства параметров и фазового пространства при аппроксимациях (4) остается таким же, как и для исходной системы рис. 233 и 167.)

Рис. 233