§ 3. Предельная точка полутраектории и траектории. Предельная траектория.

Будем рассматривать только такие

тории и траектории, которые целиком лежат в ограниченной части плоскости. Из теоремы 2, очевидно, следует, что на всякой такой положительной (отрицательной) полутраектории любое решение определено для всех значений где некоторое (зависящее от выбора решения) фиксированное значение. На всякой траектории, целиком лежащей в ограниченной части плоскости, всякое решение определено для всех значений

При рассмотрении возможного поведения отдельной полутраектории вводится понятие «предельной точки полутраектории».

Точка называется предельной точкой положительной полутраектории (или соответственно отрицательной полутраектории если при любом сколь угодно малом и любом сколь угодно большом (любом ) в круге радиуса с центром в точке лежит хотя бы одна точка полутраектории соответствующая значению (или соответственно

Из определения предельной точки полутраектории непосредственно следует, что если координаты предельной точки положительной полутраектории решение, соответствующее то существует последовательность неограниченно возрастающих значений

таких, что

Обратно, из существования последовательности неограниченно возрастающих значений для которой выполняются условия (4), следует, что точка есть предельная точка полутраектории

Точка называется предельной точкой целой траектории если есть предельная точка либо для положительной полутраектории либо для отрицательной полутраектории выделенной из траектории (в первом случае точку часто называют сопредельной точкой, во втором предельной точкой траектории

Предельная точка траектории может как принадлежать самой траектории так и не принадлежать ей.

Примеры.

1) Всякое состояние равновесия является своей единственной предельной точкой (как так и -предельной), так как в этом случае при всех

2) Все точки замкнутой траектории, очевидно, также являются ее и -предельными точками. Действительно, соответствующее замкнутой траектории движение является периодическим (с некоторым периодом и каждая точка этой траектории соответствует бесчисленному множеству значений

а также

Согласно определению она является, следовательно, как так и -предельноп точкой (в рассматриваемом случае при любом

3) Траектория, стремящаяся к состоянию равновесия (как в случае узла и фокуса, так и в случае седла), имеет своей единственной предельной точкой это состояние равновесия.

4) Для полутраектории имеющей вид спирали, наматывающейся на предельный цикл, очевидно, все точки этого предельного цикла являются предельными (в двух последних примерах предельная точка не являлась точкой соответствующей полутраектории).

Так как сказанное относительно положительных полутраекторий, очевидно, справедливо и для отрицательных полутраекторий (с заменой на то в дальнейшем будут рассматриваться только положительные полутраектории. Следующая теорема позволяет ввести понятие предельной траектории.

Теорема 1 (о предельной траектории). Если есть предельная точка полутраектории то и все точки траектории проходящей через точку являются предельными для

Доказательство этой теоремы опирается на теорему о непрерывной зависимости от начальных условий и понятие предельной точки полутраектории.

Траектория называется предельной траекторией для полутраектории или просто предельной траекторией. Когда предельная точка траектории является точкой самой этой траектории, то называется самопредельной траекторией. В силу предыдущего состояние равновесия и замкнутая траектория являются самопредельными. В формулировке следующей теоремы используются теоретико-множественные понятия замкнутости и связности множества.

Множество точек плоскости называется замкнутым, если оно содержит все свои точки сгущения. Замкнутое, ограниченное (т. е. целиком лежащее в ограниченной части плоскости) множество называется связным, если оно не может быть представлено как сумма двух замкнутых множеств без общих точек. Заметим, что если мы имеем два замкнутых множества без общих точек, то наименьшее из расстояний между любыми двумя точками, из которых одна принадлежит одному множеству, а другая — другому, отлично от нуля.

Рассмотрим множество К всех предельных точек полутраектории целиком лежащей в ограниченной части плоскости: множество ее предельных точек, очевидно, также лежит в ограниченной части плоскости.

Теорема 2. Множество всех предельных точек полутраектории замкнуто, связно и состоит из целых траекторий.

Справедливость первых двух утверждений теоремы доказывается непосредственно, справедливость последнего утверждения следует из теоремы о предельной траектории.

Если К есть предельное множество траектории то говорят также, что стремится к К при

Понятие предельной точки и теоремы 1 и 2 имеют место не только в случае динамической системы на плоскости, но и в случае динамической системы на фазовой поверхности любого жанра, а также в случае динамических систем в фазовом пространстве измерений при (т. е. для системы автономных дифференциальных уравнений первого порядка при

(Предложения следующих параграфов справедливы только для динамических систем на плоскости и на сфере.)