Главная > Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 3. Предельная точка полутраектории и траектории. Предельная траектория.

Будем рассматривать только такие

тории и траектории, которые целиком лежат в ограниченной части плоскости. Из теоремы 2, очевидно, следует, что на всякой такой положительной (отрицательной) полутраектории любое решение определено для всех значений где некоторое (зависящее от выбора решения) фиксированное значение. На всякой траектории, целиком лежащей в ограниченной части плоскости, всякое решение определено для всех значений

При рассмотрении возможного поведения отдельной полутраектории вводится понятие «предельной точки полутраектории».

Точка называется предельной точкой положительной полутраектории (или соответственно отрицательной полутраектории если при любом сколь угодно малом и любом сколь угодно большом (любом ) в круге радиуса с центром в точке лежит хотя бы одна точка полутраектории соответствующая значению (или соответственно

Из определения предельной точки полутраектории непосредственно следует, что если координаты предельной точки положительной полутраектории решение, соответствующее то существует последовательность неограниченно возрастающих значений

таких, что

Обратно, из существования последовательности неограниченно возрастающих значений для которой выполняются условия (4), следует, что точка есть предельная точка полутраектории

Точка называется предельной точкой целой траектории если есть предельная точка либо для положительной полутраектории либо для отрицательной полутраектории выделенной из траектории (в первом случае точку часто называют сопредельной точкой, во втором предельной точкой траектории

Предельная точка траектории может как принадлежать самой траектории так и не принадлежать ей.

Примеры.

1) Всякое состояние равновесия является своей единственной предельной точкой (как так и -предельной), так как в этом случае при всех

2) Все точки замкнутой траектории, очевидно, также являются ее и -предельными точками. Действительно, соответствующее замкнутой траектории движение является периодическим (с некоторым периодом и каждая точка этой траектории соответствует бесчисленному множеству значений

а также

Согласно определению она является, следовательно, как так и -предельноп точкой (в рассматриваемом случае при любом

3) Траектория, стремящаяся к состоянию равновесия (как в случае узла и фокуса, так и в случае седла), имеет своей единственной предельной точкой это состояние равновесия.

4) Для полутраектории имеющей вид спирали, наматывающейся на предельный цикл, очевидно, все точки этого предельного цикла являются предельными (в двух последних примерах предельная точка не являлась точкой соответствующей полутраектории).

Так как сказанное относительно положительных полутраекторий, очевидно, справедливо и для отрицательных полутраекторий (с заменой на то в дальнейшем будут рассматриваться только положительные полутраектории. Следующая теорема позволяет ввести понятие предельной траектории.

Теорема 1 (о предельной траектории). Если есть предельная точка полутраектории то и все точки траектории проходящей через точку являются предельными для

Доказательство этой теоремы опирается на теорему о непрерывной зависимости от начальных условий и понятие предельной точки полутраектории.

Траектория называется предельной траекторией для полутраектории или просто предельной траекторией. Когда предельная точка траектории является точкой самой этой траектории, то называется самопредельной траекторией. В силу предыдущего состояние равновесия и замкнутая траектория являются самопредельными. В формулировке следующей теоремы используются теоретико-множественные понятия замкнутости и связности множества.

Множество точек плоскости называется замкнутым, если оно содержит все свои точки сгущения. Замкнутое, ограниченное (т. е. целиком лежащее в ограниченной части плоскости) множество называется связным, если оно не может быть представлено как сумма двух замкнутых множеств без общих точек. Заметим, что если мы имеем два замкнутых множества без общих точек, то наименьшее из расстояний между любыми двумя точками, из которых одна принадлежит одному множеству, а другая — другому, отлично от нуля.

Рассмотрим множество К всех предельных точек полутраектории целиком лежащей в ограниченной части плоскости: множество ее предельных точек, очевидно, также лежит в ограниченной части плоскости.

Теорема 2. Множество всех предельных точек полутраектории замкнуто, связно и состоит из целых траекторий.

Справедливость первых двух утверждений теоремы доказывается непосредственно, справедливость последнего утверждения следует из теоремы о предельной траектории.

Если К есть предельное множество траектории то говорят также, что стремится к К при

Понятие предельной точки и теоремы 1 и 2 имеют место не только в случае динамической системы на плоскости, но и в случае динамической системы на фазовой поверхности любого жанра, а также в случае динамических систем в фазовом пространстве измерений при (т. е. для системы автономных дифференциальных уравнений первого порядка при

(Предложения следующих параграфов справедливы только для динамических систем на плоскости и на сфере.)

1
Оглавление
email@scask.ru