§ 6. Поворот векторного поля.

В гл. 7 мы уже рассматривали случай, когда в каждой точке угол между вектором, определенным системой

и вектором, определенным системой

имеет один и тот же знак. Именно, в качестве системе (А) мы рассматривали систему вида

Тогда тангенс угла между вектором, определенным системой (А), и вектором, определенным системой (А), будет

т. е. угол один и тот же во всех точках плоскости. Очевидно, при угол положителен, а при отрицателен. Мы будем также рассматривать и более общий случай, когда угол между векторами, определенными соответственно системами (А) и (А), в каждой точке плоскости (или некоторой данной области) не меняет знака, хотя и не постоянен.

Будем говорить, что при переходе от системы (А) к системе (А) мы имеем поворот поля (или что поле поворачивается на угол того или другого знака), если обращаются

в нуль в тех и только тех точках, в которых

и выражение

не меняет знака на плоскости (или в некоторой данной области) и не обращается в нуль вдоль интегральных кривых систем (А) и (А).

Рассмотрим простые примеры. Пример 1. Пусть дана система

Рассмотрим ее при некотором фиксированном значении и посмотрим, как меняется поле при фиксированных и при изменении у, т. е. рассмотрим угол между векторами, определяемыми системой

и векторами, определенными системой (А).

Выражение в этом случае имеет вид

Таким образом, в области, где при увеличении у поле поворачивается на положительный угол, а в области, где на отрицательный. При уменьшении до очевидно, имеет место обратное. Пример 2. Пусть

Рассмотрим измененную систему

Выражение

не меняет знака на плоскости касание траекторий происходит вдоль оси х, не являющейся интегральной кривой, и при этом касание нечетного порядка. Траектории измененной системы всюду пересекают траектории исходной системы.

Опишем поведение некоторых особых траекторий при повороте поля.

1. Состояния равновесия остаются на прежних местах (имеют те же координаты).

2. При повороте на положительный (отрицательный) угол сепаратрисы седел (как так и -сепаратрисы) поворачиваются на положительный (отрицательный) угол (рис. 111).

Если не совпадающие друг с другом со- и -сепаратрисы одного и того же седла или различных седел системы (А) пересекают одну и ту же дугу без контакта I, то при повороте на угол одного знака их точки пересечения с дугой I сближаются, а при повороте на угол другого знака — удаляются друг от друга. При этом части одноименных сепаратрис между седлом и точкой пересечения с дугой I до и после поворота не могут иметь общих точек.

3. Сепаратрисы системы (А), идущие из седла в седло, при повороте разделяются (различным образом при повороте на угол различных знаков). Если сепаратриса системы (А) образует петлю и в седле то при повороте на угол одного знака она разделяется без рождения предельного цикла, а при повороте на угол другого знака она разделяется с рождением предельного цикла (см. рис. 101, 102).

Рис. 111

4. Двойной предельный цикл при повороте на угол одного знака исчезает, при повороте на угол другого знака — разделяется на два предельных цикла (устойчивый и неустойчивый).

При повороте на угол одного знака грубый предельный цикл расширяется (содержит внутри цикл исходной системы при повороте на угол другого знака — сжимается (содержится внутри цикла исходной системы).

а) Если у исходной системы (А) существуют устойчивый и неустойчивый предельные циклы, на которых направление обхода по одинаково (т. е. направление обхода по на обоих циклах является направлением по часовой стрелке или на обоих — против часовой стрелки), то если при повороте на положительный (отрицательный) угол устойчивый предельный цикл расширяется, то неустойчивый сжимается, и наоборот.

б) Если у системы (А) существует два устойчивых (неустойчивых) цикла с различными направлениями обхода по то если при повороте один сжимается, то другой расширяется, и наоборот.

в) Если у устойчивого и неустойчивого циклов системы (А) направление обхода по неодинаково, то при повороте эти циклы либо оба одновременно сжимаются, либо оба одновременно расширяются.

Предположим, что у рассматриваемой системы при существует три грубых предельных цикла, вложенных один внутрь другого: Пусть устойчивые, неустойчивый. Тогда при повороте поля (происходящем, например, при возрастании от значения при достаточно малых пиклы (близкие к расширяются, а цикл

(близкий к сужается. Если поворот происходит на достаточно большой угол, то при некотором циклы и в зависимости от того, в какую сторону поворачивается поле) могут слиться, образуя двукратный цикл, который затем при исчезает.

С другой стороны, пусть при у системы один грубый цикл Предположим для определенности, что при возрастании цикл расширяется. Существует такая логическая возможность: при некотором из уплотнения траектории возникает двукратный цикл, содержащий внутри, который затем разделяется на два предельных цикла и