§ 5. Условия на сепаратрисы седел и седло-узлов в системе первой степени негрубости.

Пусть теперь у системы (А) существует сепаратриса, идущая из седла в седло. Рассмотрим, в частности, тот случай, когда сепаратриса идет из седла О в то же седло. Тогда вместе с седлом О образует простую замкнутую кривую Мы будем говорить в этом случае, что сепаратриса образует петлю или что мы имеем петлю сепаратрисы. Если при этом сепаратрисы седла О, отличные от лежат внутри петли (внутри Со), то мы будем говорить, что образует большую петлю. Укажем следующие основные свойства петли сепаратрисы.

1. Если в седле величина

то петля неустойчива (т. е. все траектории, проходящие через достаточно близкие к ней точки, лежащие внутри нее или соответственно вне ее, стремятся к петле при Если величина

то петля устойчива (см. и 97).

2. Если в седле

то возможен как случай, когда петля устойчива, так и случай, когда петля неустойчива, а также случай, когда все траектории,

Рис. 96

Рис. 97.

проходящие через точки внутри (вне) петли, достаточно близкие к петле, замкнуты.

Теорема 5. Если система (А) является системой первой степени негрубости в то в не может существовать сепаратриса, идущая из седла в то же седло, если в этом седле координаты седла).

Величина называется седловой величиной.