§ 6. Фазовая автоподстройка частоты.

Рассматривается система [43]

при положительных

1. Поворот поля. Разность полей направления системы (1) с параметрами и измененной системы с параметрами для будет

При фиксированном монотонный поворот будет осуществляться, если измененные значения параметров выбирать так, чтобы выполнялось условие

В частности, монотонный поворот осуществляется при изменении вдоль -кривых или х-кривых Семейства к- и -кривых, каждое в отдельности, покрывают всю рассматриваемую часть плоскости Кривые измененной и исходной систем на прямой пересекаются с касанием по оси При изменении поле направлений на нижнем и верхнем полуцилиндрах поворачивается в противоположных направлениях. Прямая в этом случае будет контактной кривой.

2. Качественные структуры на концах k-кривых.

Чтобы проследить за изменением качественной структуры фазового пространства при монотонном повороте поля направлений с изменением параметров вдоль -кривых, нужно знать структуру разбиения фазового пространства на концах -кривых для малых и для больших (и соответственно для больших и малых

В цилиндрическом фазовом пространстве (на полосе с отождествленными краями) состояния равновесия

будут фокус или узел, седло.

Направления по которым траектории системы (1) входят в седло, определяются уравнением

Для один корень всегда отрицателен и соответствует направлению, по которому -сепаратриса входит в седло. Пусть на некоторой прямой в интервале между особыми точками отмечена координата точки пересечения прямой с -сепаратрисой седла. Если с убыванием двигаться в пространстве параметров вдоль -кривых, то векторное поле будет монотонно поворачиваться по часовой стрелке и будет расти. В то же время на нижней ветви изоклины горизонтальных наклонов на верхнем полуцилиндре (имеющей положительные значения ординаты лишь вне интервала максимум, равный

при будет неограниченно убывать. Поэтому для любого к можно выбрать так, чтобы неравенство выполнялось, и тогда -сепаратриса будет идти в седло, скручиваясь с верхнего полуцилиндра. На верхнем полуцилиндре при бесконечность устойчива. Действительно, если при больших положим и построим обычным образом функцию последования в окрестности малого получим

Отсюда следует существование по крайней мере одного неустойчивого предельного цикла, расположенного выше минимума верхней ветви изоклины горизонтальных наклонов, т. е. для

Так как кривая не пересекает для малых верхнюю ветвь изоклины горизонтальных наклонов (для малых всегда то этот цикл единственный.

Для малых кривая не пересекает также и нижнюю ветвь изоклины горизонтальных наклонов, поэтому предельные циклы вокруг точки не могут существовать.

Предельные циклы на нижнем полуцилиндре также не могут существовать. Система (1) эквивалентна уравнению

Поэтому для замкнутого контура, охватывающего цилиндр и составленного из траекторий системы (1), имеем

но это невозможно при и положительных

Качественная картина фазового пространства для достаточно малых на любой крпвой представлена на рис. 173,1.

Рис. 173

Проследим за поведением -сепаратрис седла при больших Рассмотрим две консервативные системы сравнения:

(условие для любых к больших выполняется)

Точка для системы -состояние равновесия типа центр, и сепаратрисы седла образуют петлю вокруг Поле направлений системы (1) повернуто по отношению к системе (2) по часовой стрелке. Поэтому -сепаратриса седла системы (1), выходящая на нижний полуцилиндр, идет в точку

Траектории системы (3) на верхнем полуцилиндре представляют спирали, накручивающиеся на цилиндр и уходящие в бесконечность. Поле направлений системы (1) на верхнем полуцилиндре повернуто по отношению к системе (3) против часовой стрелки повсюду, за исключением прямой (на прямой будет касание с пересеченпем). Поэтому -сепаратриса седла системы (1), выходящая на верхний полуцилиндр, не может пересечь -сепаратрису седла системы (3), выходящую из седла расположенного справа от седла и должна уходить в бесконечность. Предельных циклов нет. Поведение -сепаратрпс полностью

определяет качественную картину разбпення фазового пространства. Качественная картина на любой кривой для достаточно больших представлена на рис. 173,0.

3. Качественные картины фазового пространства и возможные бифуркации. Кривые к соединяют области пространства параметров, соответствующие структурам, представленным на рис. 173,2 и 173,0. При возрастании вдоль -кривых точки на пересечении прямой с а- и -сепаратрисами седла на верхнем полуцилиндре монотонно сближаются, совпадают при некотором значении (соответственно (рис. и затем монотонно расходятся. Множества точек соответствующие негрубой бифуркационной структуре, для которой а- и -сепаратрисы седла образуют петлю на верхнем полуцилиндре совпадают), образуют в пространстве параметров непрерывную кривую Каждая -кривая пересекает в одной точке кривую

При переходе через значение соответствующее пересечению кривых возникает и затем разрушается петля сепаратрисы на верхнем полуцилиндре, и этом из петли сепаратрисы появляется устойчивый предельный цикл, так как седловая величина отрицательна (см. рис. 173,5). При дальнейшем возрастании параметра вдоль -кривых предельные циклы монотонно сближаются. Так как предельных циклов для структуры на нет, то существует на каждой -кривой точка с координатами для которой устойчивый и неустойчивый предельные циклы сливаются, образуя полуустойчивый предельный цикл.

Соответствующая негрубая бифуркационная структура представлена на Множество точек образует непрерывную -кривую в пространстве параметров, пересекающуюся с каждой из -кривых в одной точке. Последовательность качественных структур возрастании вдоль -кривых представлена на рис. 173 последовательностью грубых структур 2, 2, 0. Негрубые структуры, соответствующие бифуркационным значениям параметров, обозначены двумя цифрами, указывающими на грубые структуры, которые они разделяют.

Замечание. Качественные структуры, промежуточные между структурами определяются лишь с точностью до дополнительного четного числа предельных циклов, охватывающих цилиндр, так как при повороте поля предельные циклы могут возникать из сгущения траекторий, пересекающих кривую разделяться и затем опять попарно в других сочетаниях сливаться и исчезать. Логическая возможность такого поведения остается неустраненной. Вокруг точки подобное произойти не может. Раз возникнув, предельные циклы не

могли бы исчезнуть, так как при дальнейшем повороте поля петли сепаратрисы вокруг точки не возникают и не меняет устойчивости.

4. Расположение бифуркационных кривых. Отметим, что -кривые пересекают и в определенной последовательности, и поэтому не пересекаются. Покажем, что кривая целиком лежит в полосе

Используем систему сравнения

Повторяя рассуждения, проведенные в п. 2 по отношению к системе сравнения (3), находим, что для значений параметров система (1) не имеет предельных циклов.

Величина обращается в нуль на верхнем полуцилиндре только на прямой Если эта прямая будет на цилиндре циклом без контакта, то двойные предельные циклы не могут существовать Прямая будет циклом без контакта, если

Кривая в полосе пересекается с каждой из -кривых и идет при убывании из бесконечности в точку на оси а.

Проследим за расположением кривой Качественная картина фазового пространства на любой -кривой для малых (для представлена на рис. 173, 0. При возрастании вдоль -кривых происходит монотонный поворот поля направлений, и поэтому каждая -кривая может пересекать не более одного раза. Рассмотрим систему сравнения

Как известно (гл. 20, § 4), для каждого существует такое что при -сепаратриса седла системы (5), выходящая на верхний полуцилиндр, пересекает ось и уходит на нижний полуцилиндр.

Запишем систему (1) в виде

Поле направлений системы (6) повернуто по отношению к полю направлений системы (5) против часовой стрелки, и поэтому -сепаратриса системы (6) должна идти на нижний полуцилиндр при сколь угодно больших если На верхнем полуцилиндре для (6) при достаточно больших существуют неустойчивый и устойчивый предельные

циклы. Для любого можно выбрать такое чтобы выражение сохраняло знак при всех Поэтому при болыппх и для (6) на прямой выполняется Но так как на верхнем полуцилиндре бесконечность устойчива (см. п. 2), то вытекает существование для любого неустойчивого предельного цикла выше прямой Существование траекторий, накручивающихся на верхний полуцилиндр снизу вверх, и, следовательно, существование устойчивого предельного цикла следуют из указанного выше расположения -сепаратрисы седла для Заметим, что при при

Качественная картина фазового пространства для достаточно больших на любой полупрямой представлена на рис. 173,2. Отметим, что -кривые не пересекают Так как существуют -кривые, пересекающие уходит в бесконечность пересекается с каждой из -кривых, то должна иметь одну из х-кривых асимптотой. Она не может иметь второй асимптотой другую х-кривую или какую-либо прямую, параллельную оси так как не может пересекаться с -кривыми дважды. Кривая при убывании либо идет к некоторой точке оси либо имеет эту ось своей асимптотой. Покажем, что осуществляется первая из этих возможностей.

Для двух систем вида (1), соответствующих значениям параметров контактной кривой на верхнем полуцилиндре будет Если то контактная кривая располагается выше максимума нижней ветви изоклины горизонтальных наклонов.

Пусть на некоторой прямой слева от седла 0% отмечены ординаты и точек пересечения прямой с -сепаратрисами для системы (1) при соответственно. Векторное поле системы (1) при в полосе повернуто по отношению к векторному полю системы при по часовой стрелке, и поэтому для всех будет Так как при убывании максимум неограниченно убывает, то для всех достаточно малых будет и -сепаратриса системы (1) при попадает в область выше максимума изоклины и должна накручиваться на верхний полуцилиндр.

Качественная структура фазового пространства представлена на рис. 173, 2. На верхнем полуцилиндре существует один неустойчивый предельный цикл. Такая структура будет осуществляться для любых достаточно малых при любых следовательно, кривые не могут иметь ось своей асимптотой.

Разбиение пространства параметров для представлено на рис. 174. Цифрами отмечены области в пространстве параметров, соответствующие грубым структурам на рис. 173, отмеченным теми же цифрами.

Негрубым системам на рис. 173, помеченным двумя цифрами, соответствуют бифуркационные кривые рис. 174, разделяющие соответствующие области.

5. Качественные картины и возможные бифуркации при При возрастании до значения состояния равновесия сливаются. Структура разбиения пространства параметров для будет такая же, как на рис. 174. Соответствующие структуры разбиения фазового пространства будут отличаться от структур для случая лишь тем, что на будет одно состояние равновесия типа седло-узла.

Рис. 174

При возрастании от значения при взятых из области 2 рис. 174, исчезает состояние равновесия седло-узел. При значениях взятых области 1, происходит появление устойчивого предельного цикла -сепаратрпсы седло-узла. На плоскости параметров при этом исчезает бифуркационная кривая