§ 3. Некоторые простые примеры динамических систем на цилиндре.

В дальнейшем мы подробно остановимся на качественном исследовании классического уравнения движения самолета в вертикальной плоскости [45, 42, 75, 148], которое после надлежащей замены переменных и параметров может быть записано в виде системы

( — положительные параметры). Следующие примеры посвящены рассмотрению частных случаев этого уравнения.

Пример 1.

(эта система получается из системы (1) при Будем рассматривать только часть фазового цилиндра, соответствующую (что соответствует смыслу этих переменных)

В этом случае мы получаем систему

и, взяв в качестве интегрирующего множителя получаем интеграл системы

или

Состояниями равновесия этой системы являются

Нетрудно убедиться в том, что состояния равновесия седла, а также, что для состояния равновесия характеристическое уравнение имеет чисто мнимые корни, и система в окрестности этого состояния равновесия имеет аналитический интеграл, т. е. состояние равновесия — центр.

Нетрудно, кроме того, непосредственно проверить, что кривая

интегральная и является сепаратрисой, идущей из седла в седло. Наметив направления на траекториях, составляющих интегральную кривую мы получаем картину траекторий, изображенную на рис. 137, а.

б) . При системы (2) три состояния равновесия:

где

в) При системы два состояния равновесия Записывая для всех состояний равновесия соответствующее характеристическое уравнение

находим: 1) характеристические корни для состояния равновесия

т. е. состояние равновесия седло при всех характеристические корни для состояния равновесия

т. е. седло при и неустойчивый узел при

При будет значение является бифуркационным. Состояние равновесия существующее при является неустойчивым фокусом или узлом.

При состояние равновесия сливается с образуя сложную особую точку, которая при делается грубым неустойчивым узлом.

Рис. 137

Разность наклонов траекторий системы (2) при есть

При это выражение положительно, и, следовательно, выше сепаратрисы, и на сепаратрисе консервативной системы идущей из седла в седло, поле поворачивается на положительный угол. Поэтому нет циклов, охватывающих цилиндр. Так как

то нет и циклов, охватывающих состояния равновесия (критерий Дюлака). Расположение траекторий представлено на рис. 137,б и 137, в.

Пример 2 [150].

(Эта система получается из системы (1) при При мы получаем систему (соответствующую предыдущего примера), изображенную на рис. 137, а.

При системы три состояния равновесия. В точках будут седла. Если положить

то третье состояние равновесия будет

Оно является устойчивым фокусом или узлом. Так как

то у системы нет предельных циклов, охватывающих состояния равновесия (критерий Дюлака).

Сравнивая эту систему с системой (3), мы, так же как и в предыдущем примере, заключаем, что у системы (4) нет предельных циклов, охватывающих цилиндр.

Расположение траекторий представлено на рис. 137, г. Пример 3.

(К рассмотрению этой системы сводится целый ряд задач: движение маятника с постоянным моментом, динамика синхронного мотора в простейшей идеализации, стабилизация скорости вращения двигателя постоянного тока часовым регулятором и др. В дальнейшем она будет использована и как система сравнения.) Эта система подробно рассмотрена в [162, 2, 3, 149, 39].

Приведем здесь исследование этой системы в простейших случаях:

а) ; система имеет вид

Очевидно, она имеет интеграл

Картина траекторий представлена на рис. 138, а.

б) При два состояния равновесия:

где в точке всегда седло. Когда система имеет аналитический интеграл

и состояние равновесия центр. Картина траекторий на фазовом цилиндре в этом случае имеет вид, представленный на рис. 138, б.

Рис. 138

При состояния равновесия сливаются в одно двукратное состояние равновесия; центр и седло сливаются, образуя одну двукратную точку.

При системы нет состояний равновесия (рис. 138, в). Так как

то при система не имеет предельных циклов, охватывающих состояние равновесия, и может иметь не более одного предельного цикла, охватывающего цилиндр, если такой цикл существует. Для того чтобы показать существование предельного

цикла, охватывающего цилиндр, достаточно указать два частных решения системы такие, что

Первым из этих решений, как нетрудно видеть, будет любая кривая, проходящая через точку, лежащую выше изоклины горизонтальных наклонов

Вторым решением в случае как нетрудно видеть, будет любая кривая, проходящая через точку на оси (рис. 138, г).