§ 3. Примеры исследования в бесконечности [93].

Пример 1. Докажем наличие периодических решений у уравнения Рэлея

Заменой оно приводится к системе (на фазовой плоскости

У системы (5) начало координат -состояние равновесия, которое, как нетрудно видеть, является:

1) неустойчивым узлом при

2) неустойчивым фокусом при

Проведем исследование бесконечно удаленных особых точек, т. е., спроектировав фазовую плоскость на сферу Пуанкаре, рассмотрим особые точки на сфере. Полагая

получаем

что можно записать в виде одного уравнения:

Единственной особой точкой этого уравнения является точка Она является сложной. Исследование ее можно упростить, если положить Мы получаем уравнение

Это точка рассмотренного в § 2 гл. 4 вида. Очевидно, мы имеем

В силу теоремы 4 § 2 гл. 4 особая точка уравнения (7) — седло.

Для того чтобы установить характер особой точки уравнения (6), необходимо провести небольшое дополнительное рассмотрение. Запишем, вводя параметр уравнение (7) в виде системы

Непосредственно очевидно, что является интегральной прямой системы (7). Так как имеет характер седла, то прямая должна состоять из точки и двух полусепаратрис. Установим, стремятся ли обе эти полусепаратрисы к точке при или одна стремится к а другая при Это позволит нам установить, лежат ли две другие сепаратрисы по одну сторону от оси или одна — по одну, а другая — по другую сторону этой оси, что, как нетрудно видеть, существенно для решения вопроса о характере состояния равновесия на плоскости

Рис. 71

При мы имеем

т. е. при при т. е. ось составлена из двух -полусепаратрис. Но тогда две другие полусепаратрисы, очевидно, непременно должны лежать по разные стороны оси Эти полусепаратрисы стремятся к состоянию равновесия касаясь оси так как в рассматриваемом случае это —

единственное направление, в котором траектории могут стремиться к состоянию равновесия

При переходе к плоскости имеет, очевидно, смысл рассмотрение только значений так как то особая точка системы (6) будет иметь вид, представленный на рис. 71. Это, очевидно, также топологическое седло, причем состоит из двух сепаратрис, а в области (и соответственно лежит по одной сепаратрисе, стремящейся, как нетрудно убедиться, к точке при (рис. 71). Чтобы исследовать «концы» оси у, делаем замену

Тогда

или

Отсюда видно, что «концы» оси у, т. е. состояние равновесия системы неустойчивый узел, так как Окончательный вид полусферы изображен на рис. 72 (где неустойчивые узлы, а ). Из расположения траекторий (все траектории выходят из бесконечности и из состояния равновесия в силу теоремы 1 вытекает существование хотя бы одного предельного цикла (на рис. 72 нарисован только один цикл).

Рис. 72

Пример 2.

(уравнение Ван-дер-Поля).

На фазрвой плоскости мы получаем систему

Единственное состояние равновесия — в начале координат. Как нетрудно видеть, мы имеем (при ):

1) неустойчивый фокус при

2) неустойчивый узел при .

Для исследования экватора сферы Пуанкаре полагаем

Получаем систему

Полагая получаем

Особая точка и типа, исследованного в § 2 гл. 4. Имеем

Проводя дополнительные рассмотрения, полностью аналогичные проведенному в предыдущем примере, можно показать, что особая точка имеет характер седла.

Рис. 73

Возвращаясь затем к системе (10) и устанавливая направления на траекториях, мы получаем картину, представленную на рис. 73.

Для исследования «кондов оси у» полагаем

получаем

полагая получаем

Это — также особая точка типа, исследованного в § 2 гл. 4.

Имеем

Это подходит под случай в) в теореме 4 гл. 4 — состояние равновесия имеет характер узла (рис. 74). Вид полусферы изображен на рис. 75.

Рис. 74

Рис. 75

Очевидно, в силу расположения траекторий существует хотя бы один предельный цикл (на рисунке изображен только один).