§ 6. Динамическая система, описывающая симметричный полет самолета.

Рассмотрим опять систему, изученную в гл. 16 § 4 и в § 1 настоящей главы:

и введем малый параметр Эта система (с малым ) рассматривалась в § 3 гл. 15. Напомним здесь некоторые факты. При система имеет интеграл

Замкнутые кривые семейства (16) при охватывают состояние равновесия, при фазовый цилиндр. При малом система имеет три состояния равновесия: седла, - фокус (при центр). Фазовое пространство цилиндрическое. В соответствии с физическим смыслом переменных и параметров рассматриваем лишь верхний полуцилиндр интегральная кривая) и положительные значения параметров.

Особенность разбиения фазового пространства на траектории состоит в рассматриваемой задаче в том, что для значений параметров, при которых возникает сепаратриса, идущая седла в седло, образуются сразу два замкнутых контура, составленных из сепаратрис седла на цилиндре и отрезков оси контур, охватывающий состояние равновесия, и контур, охватывающий фазовый цилиндр. От контуров, составленных из сепаратрис седла, при изменении параметра появляется либо предельный цикл, охватывающий состояние равновесия, либо предельный цикл, охватывающий фазовый цилиндр. Поэтому функция корни которой определяют структуру разбиения на траектории, может быть записана единообразно для циклов любой природы:

соответственно для или что можно для обоих случаев записывать в виде

Здесь положительные корни уравнения если — или положительные корни соответственно уравнений если Функция доопределяется для ее предельными значениями.

Исследование обнаруживает, что не может иметь более двух корней на интервале и более одного корня для

Все возможные бифуркации в системе (15) с малым параметром соответствуют следующему набору условий (каждому отвечает определенное значение к):

1. . При убывании к из состояния равновесия появляется неустойчивый предельный цикл.

2. . При убывании к из петли сепаратрисы появляется неустойчивый предельный цикл, охватывающий цилиндр, а при возрастании к появляется неустойчивый предельный цикл, охватывающий состояние равновесия.

3. . При убывании к исчезает двойной предельный цикл. При возрастании к двойной предельный цикл разделяется на два (верхний — устойчивый, нижний — неустойчивый).

Перечисленному набору условий соответствуют следующие значения параметра к:

Вид функций для различных к представлен на рис. 249.

Рис. 249

Рис. 250

На рис. 250 в плоскости малых параметров представлено разбиение на области с различной качественной структурой разбиения фазового пространства на траектории. Заштрихована узкая полоса, для точек которой в фазовом пространстве есть два предельных цикла.

Рассмотрим систему (15) с малым параметром при аппроксимациях пилой, релейной функцией.

При система будет иметь интеграл

для которого производная непрерывна на линиях сшивания

Замкнутые кривые семейства (18) при охватывают состояние равновесия типа сшитый центр, а при фазовый цилиндр. Состояния равновесия будут седла. Функция здесь будет иметь вид

и имеют те же значения, что и в предыдущем случае.

Исследование обнаруживает тождественность поведения и свойств функций для исходной и аппроксимирующей систем по отношению к зависимости корней от параметра k. Соответствующие бифуркационные значения к для аппроксимирующей системы будут . Пространство параметров системы будет отличаться от представленного на рис. 250 лишь незначительным смещением заштрихованной полосы, соответствующей системам с двумя циклами.

Тождественность разбиения фазового пространства для исходной и аппроксимирующей систем обуславливается здесь в первую очередь сохранением особенностей бифуркаций, связанных с сепаратрисами седел, так как седловая величина не изменилась при переходе к аппроксимирующей системе (для обеих систем в седле

Возвратимся к уравнениям (15), не предполагая более параметры малыми. Изменение числа состояний равновесия системы (15) происходит при Будем рассматривать область где число состояний равновесия не изменяется по сравнению со случаем малого Простейшие бифуркации, связанные с предельным циклом, могут быть найдены и сохраняют тот же характер, что и для малых значений Появление устойчивого предельного цикла из бесконечности происходит при возрастании от нуля (это видно из уравнений (15) непосредственно, так как при изменении знака бесконечность из устойчивой становится неустойчивой). Появление неустойчивого предельного цикла из состояния равновесия происходит из кривой

(соответствующая граница на рис. 250 есть касательная к кривой (20) в начале). Величина для немалых

не изменяет знака и обуславливает неизменность характера бифуркаций, связанных с сепаратрисами седел. Только для суждений о бифуркациях, связанных с двойным предельным циклом, нет полной информации. Знание других бифуркаций позволяет сделать ограниченные высказывания об области существования систем с двумя предельными циклами.

Для бюлыпих значений параметра расположение сепаратрис седел будет таким, как на рис. 251, а (это непосредственно следует из расположения главных изоклин для достаточно больших Не существует предельных циклов, охватывающих цилиндр.

Рис. 251

При малых расположение сепаратрис будет, как на рис. 251, е (при -сепаратриса седла идет в бесконечность; при малых появляется устойчивый предельный цикл из бесконечности). При убывании векторное поле поворачивается монотонно, поэтому существует единственное при любом фиксированном значение при котором а- и -сепаратрисы седел образуют петлю. Множество точек образует непрерывную кривую, пересекающую полосу

От петли, однако, не может появиться устойчивый предельный цикл, охватывающий цилиндр, так как в седле

Из петли может появиться или к ней стянуться лишь неустойчивый предельный цикл; чтобы это оказалось возможным при убывании до значения из сгущения траекторий необходимо должен возникнуть двойной предельный цикл, охватывающий цилиндр (рис. 251,б).

Этот предельный цикл затем разделяется на два (верхний — устойчивый, нижний — неустойчивый) (рис. 251, в), и неустойчивый предельный цикл может превратиться в петлю сепаратрисы (рис. 251,г), исчезающую при дальнейшем убывании и порождающую неустойчивый предельный цикл, который охватывает состояние равновесия (рис. 251,5). При значении удовлетворяющем условию (20), неустойчивый предельный цикл стягивается к состоянию равновесия и исчезает.

Описание изменений качественной структуры разбиения фазового пространства на траектории при изменении позволяет утверждать необходимость появления области с фазовым пространством, содержащим два предельных цикла, которые охватывают цилиндр, и позволяет проследить такую же последовательность бифуркаций в зависимости от как и для случая малого Однако последовательность структур разбиения фазового пространства на траектории, представленная на рис. 251 и строго доказанная для случая малого может быть отождествлена с соответствующими структурами, относящимися к случаю немалого лишь с точностью до четного числа предельных циклов.

Логическая возможноть такого расхождения остается неустраненной, и грубость пространства параметров здесь нужно понимать в том ограниченном смысле, о котором было сказано вначале. В этом смысле приведенное описание доказывает грубость пространства параметров по отношению к переходу от малых к немалым в довольно широкой полосе пространства параметров