ГЛАВА 19. КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СШИТЫХ СИСТЕМ МЕТОДАМИ ТЕОРИИ БИФУРКАЦИИ

§ 1. Кусочно-линейная система с тремя параметрами.

Рассмотрим дифференциальное уравнение [71]

Полагая

и вводя новые переменные и параметры, приходим к системе вида

Будем рассматривать фазовую цилиндрическую поверхность склеенной системы, развернутую на часть плоскости, соответствующей неравенствам (рис. 206). Прямая разбивает рассматриваемую часть плоскости на области 1 и 2, в каждой из которых фазовые траектории определяются соответственно линейными системами. Прямые отождествляются. Склеенная система имеет два состояния равновесия: . Точка устойчивый фокус при устойчивый узел при

Рис. 206

Точка всегда седло, сепаратрисы которого определяются уравнениями

Обозначим через полупрямые соответствующие значениям

Фазовые траектории системы осуществляют точечные преобразования полупрямой (преобразование и полупрямой (преобразование Пусть ординаты точек соответствующих полупрямых; времена пробега изображающей точки (см. рис. 206) через области 1, 2, соответствующие преобразованиям

Величины принимают положительные или нулевые значения. Интегрируя линейные уравнения (1) в областях 1 и 2, обычным образом получаем параметрические уравнения для функций соответствия.

Для области 1 получаем

Здесь Выражения для производных могут быть представлены в виде

В случае выражения для и производных получим, если в правых частях полученных выражений заменим соответственно через и

Параметр меняется в пределах от до значения при котором или обращаются в нуль. Тот или иной случай при реализуется в зависимости от знака выражения

При всегда реализуется случай Кривая имеет асимптоту Некоторые возможные виды кривой, соответствующие преобразованию изображены на рис. 207.

Рис. 207, а соответствует случаю в частности, всегда реализуется при малых Промежуточный между изображенными случай, когда кривая проходит через начало координат, соответствует и обращению в нуль выражения (2).

Для области 2 получаем

Здесь

Выражения для производных могут быть представлены в виде

Параметр меняется в пределах от значения При этом оба предельных значения отличны от нуля:

Кривая имеет асимптоту

Рис. 207

Вид кривой для (только этот случай и будет рассматриваться) представлен на рис. 208. Конечная точка кривой для малых лежит выше асимптоты.

Для разыскания предельных циклов, охватывающих фазовый цилиндр, нужно рассмотреть преобразование отображающее полупрямую в отождествляется с по траекториям системы. Неподвижным точкам этого преобразования соответствуют предельные циклы, охватывающие цилиндр и расположенные в верхней части фазового цилиндра Для отыскания этих неподвижных точек надо найти точки пересечения кривых рассматривая кривые на совмещенных плоскостях и

Нетрудно видеть, что бифуркации, при которых появляются или исчезают точки пересечения кривых имеют место:

а) если точка А кривой лежит на кривой

б) если асимптоты рассматриваемых кривых совпадают; 1

в) если рассматриваемые кривые касаются.

По аналитическим выражениям для кривых легко прослеживается только вторая из перечисленных бифуркаций (совпадение асимптот). Для бифуркаций а) и в) аналитические условия их осуществления приводят к громоздким соотношениям (особенно условия соприкосновения кривых).

Рис. 208

Рис. 209

Дополнительное привлечение качественных методов позволяет существенно упростить прослеживание бифуркаций. Покажем, что могут существовать два цикла, охватывающих цилиндр.

Так как для положительных и (для положительных во всех точках пересечения кривых выполняется неравенство

то в этом случае может быть не более одной точки пересечения и эта точка соответствует устойчивому предельному циклу. Два предельных цикла не могут существовать при одинаковых знаков.

Проследим за последовательностью бифуркаций при некотором фиксированном с возрастанием Пусть асимптоты совпадают, т. е.

Так как для больших будет и при расхождении асимптот с возрастанием асимптота для кривой поднимается и располагается выше асимптоты для кривой то при этом возникает точка пересечения кривых (рис. 209), соответствующая устойчивому

предельному циклу, охватывающему цилиндр (рисунок соответствует случаю малых

При дальнейшем возрастании асимптота кривой поднимается, сама кривая деформируется, а точка пересечения кривых перемещается вдоль кривой Покажем, что при этом неизбежно возникает соприкосновение кривых, соответствующее слиянию устойчивого и неустойчивого предельных циклов, охватывающих цилиндр.

Покажем сначала, что кривые для больших расходятся и не имеют точек пересечения.

Систему в области 2 можно записать в виде

В полосе (выше изоклины горизонтальных наклонов) интегральные кривые будут иметь положительный наклон. Пусть соответственно наибольшее и наименьшее значение в полосе, ограниченной снизу значением Легке проверить, что для любой траектории в полосе будет

при Смещение по координате у при движении по траекториям в области 2 (от до или в обратном направлении) при фиксированном будет величина, ограниченная, стремящаяся к при

Систему в области 1 можно записать в аналогичном виде;

В полосе — (выше изоклины горизонтальных наклонов) интегральные кривые будут иметь отрицательный наклон. Легко убедиться, повторяя приведенные рассуждения, что смещение по координате у при движении по любой траектории в области 1 в рассматриваемой полосе может быть сделано за счет выбора сколь угодно большим и, в частности, превосходящим наибольшее смещение, возможное при движении по траекториям в области 2.

Очевидно, что при выполнении этого условия, траектория, проходящая через точку (продолжающая в область 1 при убывании -сепаратрису седла), должна уходить в бесконечность, и предельных циклов на верхнем полуцилиндре в этом случае заведомо нет, т. е. кривые не имеют общих точек.

С учетом знаков второй производной для есть лишь две логические возможности для расхождения кривых:

а) точка пересечения кривых с возрастанием перемещается вдоль кривой совпадает с точкой А на конце кривой и соскальзывает с конца кривой;

б) точка А попадает на кривую до того, как точка пересечения совпадает с точкой А. При этом с дальнейшим возрастанием возникает две точки пересечения кривых Из точки А возникают точка пересечения, соответствующая неустойчивому предельному циклу (характер устойчивости определяется взаиморасположением кривых). С возрастанием точки сближаются, сливаются в момент соприкосновения кривых (этому моменту соответствует возникновение полуустойчивого предельного цикла) и затем исчезают.

Какая из этих возможностей реализуется, можно определить по знаку седловой величины. Так как величина в седле имеет значение то из петли сепаратрисы седла может появиться или к ней стянуться только неустойчивый предельный цикл. Так как, с другой стороны, попадание точки А на кривую соответствует появлению петли сепаратрисы седла то, следовательно, при возрастании реализуется вторая возможность. При возрастании от значения последовательно осуществляются бифуркации:

а) появление устойчивого предельного цикла из бесконечности;

б) появление неустойчивого предельного цикла из петли сепаратрисы седла;

в) слияние устойчивого и неустойчивого предельных циклов с последующим их исчезновением.