§ 2. Бифуркации систем первой степени негрубости.

I. Бифуркации двукратного состояния равновесия седло-узел.

В этом случае линейной заменой переменных (на основании изложенного в гл. 4; случай систему можно привести к виду

где - однородные многочлены степени k. При этом

В зависимости от знаков величин мы получаем различные случаи расположения узловой области и ее устойчивости (см. гл. 4).

При достаточно малых изменениях правых частей (напомним, что мы рассматриваем только такие достаточно малые изменения правых частей, при которых их частные производные до третьего порядка достаточно мало меняются), при которых система делается грубой, возможны два случая:

1) либо седло-узел (рис. 99, а) разделяется на два грубых состояния равновесия — седло и узел (узел устойчив, если и неустойчив, если (рис. 99, б при условии

2) либо седло-узел исчезает (рис. 99, в).

Рис. 99

Точнее: если о — двукратное состояние равновесия типа седло-узел, то:

а) существуют такие, что всякая система -близ-кая системе (А), либо не имеет в -окрестности О ни одного состояния равновесия, либо имеет одно состояние равновесия типа седло-узел, либо имеет два грубых состояния равновесия, из которых одно — седло, а другое — узел, и больше никаких особых траекторий, целиком лежащих в -окрестности ;

б) при всяком существует такое что у всякой -близкой к (А) системы которой в -окрестности о существуют состояния равновесия, эти состояния равновесия лежат в -окрестности о.

II. Бифуркации сложного фокуса первого порядка, т. е. состояния равновесия О с чисто мнимыми характеристическими корнями и с не равной нулю первой ляпуновской величиной Как было указано (см. § 5 гл. 3), в случае состояния равновесия с чисто мнимыми корнями все полупрямые с концом в точке О не имеют контактов с траекториями в достаточно малой окрестности О, и на достаточно близкой к О части (с концом в О) любой из таких полупрямых может быть построена функция последования, которая в рассматриваемом случае имеет вид

Коэффициент (в других принятых обозначениях и есть первая ляпуновская величина. В зависимости от знаков величин и сложный фокус может быть разной устойчивости и по-разному закручиваться (см. рис. 48, 49). При достаточно малых изменениях правых частей, при которых система делается грубой (т. е. действительные части характеристических корней делаются не равными нулю):

1) сложный фокус делается грубым той же устойчивости, что и сложный фокус;

2) сложный фокус делается грубым фокусом противоположной устойчивости, и при этом из него появляется («рождается») предельный цикл той же устойчивости, что и сложный фокус.

(См. рис. 117, 118, на которых представлены бифуркации сложного фокуса в случаях 1) и

Точнее: если — устойчивый (неустойчивый) сложный фокус первого порядка системы (А), то:

а) существуют такие, что у всякой системы (А), -близкой к (А), в -окрестности о может существовать либо один устойчивый (неустойчивый) сложный фокус первого порядка (и ни одной замкнутой траектории), либо неустойчивый (устойчивых!) грубый фокус и устойчивый (неустойчивый) предельный цикл;

б) при всяком можно указать такое, что у всякой системы -близкой к (А), в -окрестности о существует фокус или предельный цикл, этот фокус или предельный цикл целиком лежит в -окрестности О.

III. Бифуркации двукратного (двойного) предельного цикла.

Двукратным предельным циклом (см. § 4 гл. 9) называется такой цикл, что в функции последования построенной на дуге без контакта проведенной через какую-нибудь точку коэффициент

Рис. 100

Так как

то, очевидно, для двукратного цикла (рис. 100, а)

При достаточно малых изменениях правых частей (удовлетворяющих условиям § 2 гл. 9), при которых система (А) грубая, возможны два случая:

1) двукратный предельный цикл разделяется на два грубых предельных цикла — устойчивый и неустойчивый (рис. 100, б);

2) двукратный предельный цикл исчезает (рис. 100, в).

IV. Бифуркации сепаратрисы, идущей из седла в седло. Возможны два случая.

IVa. Сепаратриса идет из седла в другое седло (см. рис. 91, а гл. 8).

Рис. 101

IVб. Сепаратриса выходит из седла и возвращается в то же седло (образует петлю) (рис. 101,а), и в седле

Величину мы назвали (см. гл. 9) седловой величиной.

Если в седле О

то петля, образованная сепаратрисой устойчива (см. рис. 97).

Если в седле О

то петля, образованная сепаратрисой неустойчива (см. рис. 96).

При всех достаточно малых добавках, удовлетворяющих условиям § 2 гл. 9, при которых система (А) является грубой, могут представиться следующие возможности.

Случай Сепаратриса может разделиться на две сепаратрисы и при этом могут быть два различных поведения этих сепаратрис (см. рис. 91, б, в).

Случай Сепаратриса образующая петлю в системе (А), разделяется на две причем:

1) При одном характере поведения сепаратрис обе сепаратрисы уходят из окрестности бывшей петли сепаратрисы так же как и все отличные от седла траектории, проходящие через близкие к точки (рис. 101,б).

2) При другом характере поведения сепаратрис от петли, образованной сепаратрисой появляется (рождается)

предельный цикл С, к которому стремится одна из сепаратрис При этом:

Если в седле системы (А) седловая величина была отрицательна, т. е.

(т. е. петля, образованная в системе (А) сепаратрисой была устойчива), то рождающийся из петли предельный цикл устойчив (как на рис. 101).

Рис. 102

Если седловая величина была положительна, т. е.

(т. е. петля была неустойчива), то рождающийся из петли предельный цикл неустойчив. То же справедливо в случае, представленном на рис. 102.

Точнее, можно сформулировать следующее предложение.

Если сепаратриса системы (А), идущая из седла в седло

а) существуют такие, что у всякой системы -близкой к (А), в -окрестности седел и 0% существуют седла и и в -окрестности либо существует сепаратриса, идущая из седла в седло (и, кроме этой сепаратрисы и двух седел, больше нет ни одной негрубой особой траектории), либо нет сепаратрисы, идущей из седла в седло, и тогда система (А) является грубой;

б) при любом существует такое, что у всякой системы -близкой к которой в -окрестности существует сепаратриса, идущая из седла в седло, эта сепаратриса целиком лежит в -окрестности

Если сепаратриса седла системы (А), образующая петлю, причем

то:

а) существуют такие, что у всякой -близкой к (А) системы (А) в -окрестности лежат седло О и либо сепаратриса седла О, образующая петлю (и, кроме и седла О, нет ни одной особой

траектории, целиком лежащей в -окрестности ), либо устойчивый при (соответственно неустойчивый при предельный цикл С, к которому стремится одна из сепаратрис седла О (и, кроме седла (У сепаратрисы и указанного цикла, больше нет ни одной особой траектории, целиком лежащей в -окрестности , либо, наконец, лежит только седло О (все сепаратрисы которого при возрастании или убывании выходят из -окрестности и больше нет ни одной особой траектории, целиком лежащей в -окрестности

б) при любом существует такое, что у всякой системы -близкой к которой в -окрестности существует сепаратриса образующая петлю или предельный цикл, эта сепаратриса или предельный цикл целиком лежит в -окрестности

Таким образом, условие достаточное для устойчивости (неустойчивости) петли, одновременно является необходимым условием того, чтобы при надлежащем характере разделения сепаратрис от петли рождался устойчивый (неустойчивый) предельный цикл и притом единственный.

У. Бифуркации сепаратрис седло-узла. Рождение предельного цикла из сепаратрисы седло-узла. Пусть у системы (А), являющейся системой первой степени негрубости, негрубой особой траекторией является седло-узел Тогда в силу условий (см. гл. 9) ни одна из сепаратрис седло-узла не может идти в седло или являться и и -сепаратрисой седло-узла.

Пусть сепаратрисы седло-узла О, ограничивающие узловую область седло-узла, и третья сепаратриса седло-узла.

В случае узловая область седло-узла является устойчивой (-узловой), а сепаратрисы и — -сепаратрисами.

В случае узловая область седло-узла является неустойчивой (-узловой),

Возможны следующие типы поведения сепаратрисы согласующиеся с условиями (см. § 6 гл. 9).

Va. Сепаратриса стремится к узлу, фокусу или предельному циклу при или в зависимости от того, будет ли или -сепаратрисой седло-узла, и, значит, в зависимости от того, будет ли в седло-узле

или

В этом случае возможные бифуркации сепаратрисы очевидны. Один из примеров изображен на рис. 103.

Рис. 103, б соответствует тому случаю, когда седло-узел (рис. 103, а) разделяется на седло и узел, рис. 103, б — случаю, когда седло-узел исчезает.

Vб. Сепаратриса стремится к седло-узлу О и при и при однако не является со- и -сепаратрисой седло-узла (рис. 104, а).

В этом случае при достаточно малых добавках к правым частям системы (А), при которых седло-узел разделяется (на седло и узел), мы получаем, очевидно, в окрестности качественную структуру, изображенную на рис. 104, б.

Рис. 103

При достаточно малых добавках, при которых седло-узел исчезает, от сепаратрисы рождается предельный цикл, и притом единственный (рис. 104, в).

Рис. 104

Этот предельный цикл устойчив, если в седло-узле мы имели

и неустойчив, если в седло-узле мы имели

Точнее:

а) существуют такие, что в -окрестности сепаратрисы седло-узла системы (А), идущей из седло-узла в него же, у всех -близких к системе (А) систем (А) существует не более одного предельного цикла;

б) при любом можно указать такое, что у всякой системы -близкой к системе (А) и такой, у которой в -окрестности седло-узла О нет состояний равновесия, существует предельный цикл, целиком лежащий в -окрестности сепаратрисы и притом этот предельный цикл устойчив, если и неустойчив, если