§ 5. Условия существования седло-узла и сложного фокуса первого порядка.

В гл. 3 и 4 мы предполагали, рассматривая состояния равновесия, для которого а также рассматривая сложный фокус что в окрестности этого состояния равновесия система приведена к каноническому виду. Однако при качественном исследовании конкретных динамических систем это бывает очень неудобно, так как приведение к каноническому виду иногда требует больших вычислений. В настоящем параграфе мы дадим условия для существования двукратного седло-узла, а также для существования сложного фокуса первой степени негрубости, предполагая, что в окрестности

состояния равновесия система имеет общий вид, т. е.

где содержат члены по х и у порядка выше первого. Коэффициенты в разложении правых частей по х, у предполагаются зависящими от параметра К.

Характеристическое уравнение для рассматриваемого состояния равновесия имеет вид

Условия устойчивости состояния равновесия (условия Рауса — Гурвица) сводятся к неравенствам

Разложение по степеням х и у представим в виде

где

I. Пусть при некоторых значениях параметров имеем в точке

Для определенности предположим, что в системе Этого всегда можно добиться, заменяя х на у или наоборот.

Для того чтобы состояние равновесия было седло-узлом, нужно, чтобы величина причем

Все коэффициенты предполагаются взятыми при значениях Пусть при некоторых значениях параметров мы имеем в точке

(т. е. состояние равновесия сложный фокус).

Вычисление дает для следующее выражение через коэффициенты системы:

Коэффициенты членов не входят в выражение для Здесь

Поведение динамических систем вблизи таких значений параметров, при которых первая ляпуновская величина обращается в нуль, существенно зависит от знака второй ляпуновской величины

Для вычисления необходимо учесть в разложениях правых частей уравнений члены до пятого порядка включительно. В зависимости от первой и второй ляпуновских величин и знака действительной части корней характеристического уравнения в малой окрестности состояния равновесия на фазовой плоскости могут существовать один или два предельных цикла при всех возможных сочетаниях устойчивости и неустойчивости (один устойчивый или неустойчивый предельный цикл или два предельных цикла — устойчивый внутри неустойчивого или наоборот).

Пусть в некоторой точке пространства параметров системы Тогда, каково бы ни было положительное число можно найти такие числа что для точек из -окрестности точки справедливы следующие утверждения [121]:

1) если в точке в ряду имеется две перемены знака, то в -окрестности состояния равновесия

соответствующая система имеет два предельных цикла, если

и не имеет предельных циклов, если

2) если в точке в ряду имеется не более одной перемены знака, то число предельных циклов в -окрестности состояния равновесия системы равно числу перемен знака в ряду

Система при условиях

подстановкой

приводится к виду

где

и

При условии мы имеем следующее выражение для [121]: