§ 13. Замечания по поводу примеров § 12.

Приведенные выше примеры (на которых был также проиллюстрирован целый ряд указанных выше элементарных свойств системы (А)) являются примерами исчерпывающего исследования качественной структуры разбиения на траектории, т. е. исчерпывающего качественного исследования динамической системы.

Точное определение того, что называется качественным характером разбиения на траектории и качественным исследованием динамической системы, будет дано в следующем параграфе. Здесь мы опираемся пока лишь на непосредственно геометрически наглядные представления. С точки зрения качественного исследования знание точной формы траекторий не представляет интереса: мы уже подчеркивали это, указывая на одинаковое качественное поведение траекторий в случае узла или фокуса.

Однако существенный интерес представляют, например, знание числа состояний равновесия, факт наличия или отсутствия изолированной замкнутой траектории — предельного цикла, ход сепаратрис и т. д.

В приведенных примерах исчерпывающее качественное исследование разбиения на траектории удалось провести ввиду крайней простоты рассматриваемых динамических систем. Однако такое элементарное и исчерпывающее качественное исследование, как правило, не удается провести в случае произвольной динамической системы вида (А).

Мы не можем рассчитывать получить элементарные выражения для решений или интегралов в случае произвольной динамической системы. Вследствие этого даже очень простые по виду динамические системы, имеющие интерес в прикладных вопросах, требуют для своего качественного исследования создания специальных приемов. Примером этому может служить уравнение Ван-дер-Поля

т. е. система

качественному исследованию которой было посвящено большое количество работ.

Таким образом, естественно встает вопрос об отыскании регулярных методов качественного исследования динамических систем или хотя бы о достаточно эффективных приемах такого исследования, тем более что, как уже указывалось в § 11, даже в тех случаях, когда у рассматриваемой системы существует аналитический интеграл (в смысле § 10) и найдено его аналитическое выражение

вопрос качественного исследования разбиения на траектории, как правило, не делается тривиальным (в настоящее время не существует регулярных методов качественного исследования семейства кривых (28) даже в случае, когда -многочлен).

Поэтому представляется целесообразным отыскание методов или приемов непосредственного качественного исследования системы (А) без предварительного нахождения аналитических выражений для решений.

Однако сначала естественно установить некоторые общие свойства разбиения на траектории.

Рис. 15

Рис. 16

Укажем сначала следующий весьма элементарный факт, являющийся, однако, весьма существенным для понимания основных свойств разбиения на траектории: в окрестностп всякой «не особой» (отличной от состояния равновесия) точки «в малом» траектории ведут себя аналогично параллельным прямым (рис. 15). Это можно проследить на всех

рассмотренных примерах (справедливость этого факта может быть доказана, например, на основании свойств пересечения траекторий с дугой без контакта — см. гл. 2).

Поэтому по исследованию «в малом» мы не можем получить сведений о качественной структуре «в целом» (это иллюстрируется на рис. 16, на котором «в малом» в окрестности всех точек (в том числе, и являющихся состояниями равновесия) качественная структура одинакова, а -различна).

Прежде чем переходить к более детальному описанию свойств качественного характера как отдельной траектории, так и всего разбиения на траектории в целом (которое приводится в следующей главе), уточним понятие качественной (топологической) структуры разбиения на траектории.