§ 7. Динамические системы более высокой степени негрубости.

В рассматриваемом случае аналитических динамических систем или в более общем случае, требуя у правых частей динамической системы наличия не менее пяти производных, можно определить динамические системы второй степени негрубости

как системы, релятивно грубые в множестве систем, негрубых и не являющихся системами первой степени негрубости.

Совершенно аналогично можно определить динамические системы 3-й, степени негрубости. Определение вводится индуктивно. В рассматриваемом случае динамических систем с аналитическими правыми частями введем определение близости систем (расстояния между двумя системами) до ранга Именно, пусть даны системы:

Система (А) называется -близкой к системе (А) в -топологии, если выполняются неравенства

Динамическая система (А) называется системой степени негрубости в замкнутой области если она является негрубой системой, не являющейся негрубой системой степени, меньшей или равной и если она является релятивно грубой в множестве негрубых систем, не являющихся негрубыми системами степени, меньшей или равной

Рис. 98

Консервативные динамические системы (см. гл. 7), как уже указывалось, естественно рассматривать как динамические системы бесконечной степени негрубости.

Отметим, что условия, определяющие ту или другую степень негрубости, являются аналитическими условиями. При этом топологический характер траекторий в окрестности особой траектории той или другой степени негрубости может не отличаться от характера траекторий в окрестности некоторой грубой особой траектории или особой траектории меньшей степени негрубости.

Укажем некоторые особые траектории или образования из особых траекторий степени негрубости выше первой.

1. Состояние равновесия, для которого кратности больше двух (т. е. для которого

Такими состояниями равновесия являются в гл. 6 состояния равновесия, для которых (см. [69, 70]).

2. Состояния равновесия, для которых Такие состояния равновесия также могут иметь различную кратность.

Характер таких состояний равновесия в зависимости от их кратности, а также других определяющих их величин может быть любым из типов, описанных в § 2 гл. 4, а также более сложным (примеры более сложных состояний равновесия см. § 3 гл. 4).

3. Сложный фокус кратности выше первой, т. е. такой, для которого т. е. а некоторое

4. Предельный цикл кратности больше двух (см. [7]).

5. Петля сепаратрисы, у которой в седле (см. [8])

6. Замкнутый контур, составленный из сепаратрис седел (рис. 98).